1、44 探索三角形相似的条件第 1 课时 利用两角判定三角形相似01 基础题 知识点 1 相似三角形1下列说法中，错误的是(B)A两个全等的三角形一定相似B两个钝角三角形一定相似C两个等边三角形一定相似D相似的两个三角形不一定全等2如图，若AA，BB，C C，且 ，则ABC 与ABAB BCBC ACACABC相似知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似3已知一个三角形的两个内角分别是 40，60，另一个三角形的两个内角分别是 40，80，则这两个三角形(C)A一定不相似 B不一定相似C一定相似 D不能确定4下列说法正确的是(C)A有一个角相等的两个等腰三角形相似B所有的直角三角形相似C有一个锐
2、角对应相等的两个直角三角形相似D所有的等腰三角形相似5(说明与检测)如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 BD2AD，DEBC，交 AC于点 E，若线段 DE5，则线段 BC 的长为(C)A7.5 B10 C15 D206如图，在ABC 中，ACB90，CD AB 于点 D，则图中相似三角形共有(C)A1 对 B2 对 C3 对 D4 对7如图，AD，BE ，ABC DEF8已知两个直角三角形中的一个锐角分别为 40和 50，则这两个直角三角形相似(填“相似”或“不相似”)9(娄底中考)如图，已知AD，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如：BDEF 或AC
3、BF( 只需写一个条件，不添加辅助线和字母)10(怀化中考)如图，已知：在ABC 与DEF 中，C54，A47，F54，E79.求证：ABCDEF.证明：在DEF 中，D180E F 180795447.CF54，AD47，ABCDEF.11(铜仁中考)如图所示，AD，BE 是钝角ABC 的边 BC，AC 上的高，求证： .ADBE ACBC证明：AD，BE 是钝角ABC 的边 BC，AC 上的高，DE90.又ACDBCE，ACDBCE. .ADBE ACBC02 中档题12如图，E 是矩形 ABCD 的 AB 边上任意一点，F 是 AD 边上一点，EFC90，图中一定相似的三角形是(A)A与
4、B与C与D与13如图，在ABC 中，ABAC，BAC 40，点 D 是 AC 上的动点，当BDC70时，ABC BDC.14(新乡模拟)如图，在菱形 ABCD 中，点 M、N 在 AC 上，MEAD ，NFAB，若NFNM 2，ME3，则 AM615(唐河县期末改编)如图，四边形 ABCD 中，ABCD，点 F 在 BC 上，连接 DF 与 AB的延长线交于点 G.(1)求证：CDFBGF；(2)当 DFFG 12 时，过 F 作 EFCD 交 AD 于点 E，若 AB6 cm，EF4 cm，求 CD的长解：(1)证明：AB CD，CDF G，DCF GBF.CDF BGF.(2)CDFBGF
5、， .DCBG DFFG 12EFAB ，DEFA，DFEG.DEFDAG. .EFAG DFDG 13EF4 cm ，AG12 cm.BGAGAB6 cm.DC3 cm.03 综合题16如图，ABC、DEP 是两个全等的等腰直角三角形，BACPDE90.(1)若将DEP 的顶点 P 放在 BC 上( 如图 1)，PD、PE 分别与 AC、AB 相交于点 F、G.求证：PBG FCP；(2)若使DEP 的顶点 P 与顶点 A 重合(如图 2)，PD、PE 与 BC 相交于点 F、G.试问PBG与FCP 还相似吗？为什么？解：(1)证明：ABC 、 DEP 是两个全等的等腰直角三角形，BC DP
6、E 45 .BPG CPF135.在BPG 中， B45，BPG BGP135.BGP CPF.BC ，PBG FCP.(2)PBG 与FCP 相似理由如下：ABC、DEP 是两个全等的等腰直角三角形，BC DPE 45 .BGP CCPG45 CAG，CPFFPGCAG45CAG，BGP CPF.BC ，PBG FCP.第 2 课时 利用两边及夹角判定三角形相似01 基础题知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1下列能判定ABCABC 的条件是(B)A. ABAB ACACB. 且AAABAB ACACC. 且B CABBC ABACD. 且BBABAB ACAC2如图，ABC 与下列
7、哪一个三角形相似(D)3已知图 1、2 中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图 2 中 AB、CD 交于 O 点，对于各图中的两个三角形而言 ，下列说法正确的是(C)A只有图 1 相似 B只有图 2 相似C都相似 D都不相似4如图，D 是ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使ABCDBA 的条件是(D)AACBC ADBD BACBCABADCAB 2CDBC DAB 2BDBC5如图，点 A，B，C，D，E，F，G，H ，K 都是 78 方格纸中的格点，为使DEMABC ，则点 M 应是 F，G，H ，K 四点中的(C)AF BG CH DK6在ABC 和ABC 中，若B B
8、，AB6，BC8，BC4，则当AB3 时，ABC AB C.7已知：D、E 是ABC 的边 AB、AC 上的点，AB9，AD4，AC7.2，AE5，求证：ABCAED.证明：AB9，AD4，AC7.2，AE 5， .ABAE ACAD 95又AA，ABCAED.8如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点 O，问AOB 与COD是否相似？有一位同学解答如下：ADBC，ADOCBO，DAOBCO.AODCOB. .AOBO DOCO又AOBDOC，AOBDOC.请判断这位同学的解答是否正确，并说明理由解：不正确，错在：由AODCOB 得到 ，AOBO DOCO正解是：AO
9、DCOB， ，不能进一步推出AOBDOC.AOCO DOBO故AOB 与COD 不相似02 中档题9如图，已知在ABC 中，AB6，AC4，点 P 是 AC 的中点，过 P 的直线交 AB 于Q，若想得到以 A、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似 ，则 AQ 的长为(B)A3 B3 或43C3 或 D.34 4310如图，直线 EF 分别交 ABC 的边 AC、AB 于点 E、 F，交边 BC 的延长线于点 D，且 ABBFBCBD.求证：AEECEFED.证明：ABBFBCBD ， .ABBD BCBF又BB，ABCDBF.AD.又AEFDEC，AEFDEC. ，即 AEECEFED.A
10、EED EFEC11(杭州中考)如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，射线AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G ，且 .ADAC DFCG(1)求证：ADFACG；(2)若 ，求 的值ADAC 12 AFFG解：(1)证明：AED B，DAE DAE，ADF C.又 ，ADAC DFCGADF ACG.(2)ADFACG， .ADAC AFAG又 ，ADAC 12 .AFAG 12 1.AFFG03 综合题12(包头中考)如图，已知MON90，A 是MON 内部的一点，过点 A 作ABON，垂足为点 B，AB 3 厘米，OB4 厘米，动点 E，F 同时从 O
11、 点出发，点 E 以1.5 厘米/秒的速度沿 ON 方向运动 ，点 F 以 2 厘米/ 秒的速度沿 OM 方向运动，EF 与 OA 交于点 C，连接 AE，当点 E 到达点 B 时，点 F 随之停止运动设运动时间为 t 秒(t0) (1)当 t1 秒时，EOF 与ABO 是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论 t 取何值时，总有 EFOA.为什么？解：(1)t1 秒，OE 1.5 厘米，OF2 厘米AB3 厘米，OB4 厘米， ， .OEAB 1.53 12 OFBO 24 12又MONABE90，EOFABO.(2)在运动过程中，OE1.5t，OF2t.AB3，OB4， .OEAB
12、OFOB又EOFABO90，RtEOFRtABO.EFOAOB.又AOBFOC90，EFOFOC90.FCO 90 .EFOA.第 3 课时 利用三边判定三角形相似01 基础题知识点 三边成比例的两个三角形相似1下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是(A)A3，2，4 与 9，12，6B2，4，5 与 4，9，12C3，4，5 与 2，2.5，1D2.5，5，4 与 0.5，1.1， 1.52要做甲、乙两个形状相同的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为 50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为 20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有(C)A1 种 B
13、2 种 C3 种 D4 种3如图，在大小为 44 的正方形网格中的四个三角形，是相似三角形的是(C)A和 B和C和 D和4已知ABC 的三边长分别为 6 cm，7.5 cm，9 cm，DEF 的一边长为 4 cm，若想得到这两个三角形相似，则DEF 的另两边长可以是下列的(C)A2 cm，3 cm B4 cm，5 cmC5 cm ，6 cm D6 cm，7 cm5把ABC 的各边都扩大为原来的 3 倍，得到A 1B1C1，则下列结论不正确的是(D)AABC 与 A 1B1C1 的三边成比例BABCA 1B1C1CABC 与A 1B1C1 的三角分别相等DABC 与 A 1B1C1 的相似比为
14、36ABC 和ABC 中，AB8 cm，BC6 cm，CA5 cm，A B 6 cm，BC4.5 cm，AC 3.75 cm，则ABC 和ABC相似吗？相似理由是这两个三角形的三边成比例7如图，ABC 中，点 D、E、F 分别是 CA、AB、BC 的中点，求证：ABCFDE.证明：点 D、E、F 分别是 CA、AB、BC 的中点，DE、DF 、EF 是三角形的中位线 .DEBC DFAB EFAC 12ABCFDE.8(佛山中考)网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形若 A，B，C ，D ，E，F 都是格点，试说明ABCDEF.证明：AC ，BC ，AB4，DF 2 ，EF 22 12 32
15、 10 22 22 2 22 62， ED8，10 .ACDF BCEF ABDE 12ABCDEF.02 中档题9如图，在 84 的矩形网格中，网格中小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，图中点 D、点 E、点 F 也都在格点上，则下列与ABC 相似的三角形是(C)AACDBADFCBDFDCDE10如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P、A、B 、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是APBCPA11已知：如图，ABDE， ACDF，BCEF ，求证：DEFABC.证明：ABDE，ODE OAB， .DEAB OEOBBCEF ， OEFOBC. .EFB
16、C OEOB OFOCACDF， ODFOAC. .DFAC OFOC .DEAB EFBC DFACDEFABC.12如图，已知 ，求证：ABD ACE.ABAD BCDE ACAE证明： ，ABAD BCDE ACAEABCADE.BACDAE.BACDACDAEDAC，即BADCAE.又 ，即 .ABAD ACAE ABAC ADAEABDACE.13如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和DEF 的顶点都在格点上，P1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)判断ABC 和DEF 是否相似
17、，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P 2，P 3，P 4，P 5 中的 3 个格点，并且与ABC 相似解：(1)证明：根据勾股定理，得 AB2 ，AC ，BC5，则 AB2AC 2BC 2，5 5ABC 为直角三角形(2)ABC 和DEF 相似根据勾股定理，得 AB2 ，AC ，BC5.5 5DE4 ，DF2 ，EF 2 .2 2 10 .ABDE ACDF BCEF 522ABCDEF.(3)如图，P 2P4P5 即为所作03 综合题14学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件(1)“对于两个直角三角形，
18、满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等 ，这两个直角三角形全等” 类似地可以得到：“满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例的两个直角三角形相似” ；(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” ，类似地可以得到“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似” 请结合下列所给图形，写出已知，并完成说明过程已知：如图，在 RtABC 和 RtA BC 中，CC 90， ABAB ACAC试说明：Rt ABCRtABC .解：设 k(k0)，则 ABkAB ，ACkAC.ABAB ACAC在 Rt ABC 和 RtABC中， k，BCBC AB2 AC2A B 2 AC2 k2A B 2 k2A C 2A B 2 AC2 .ABAB ACAC BCBCRtABCRtABC .
