1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模以及两个向量的夹角.2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.,平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则有下表:,名师点拨已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).abx1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.abx1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错积相等,垂直横横纵纵积相反.,【做一做1】 向量m=(1,0),n=(2,-5)
2、,则mn等于 ()A.-2B.0C.2D.7解析:mn=12+0(-5)=2.答案:C【做一做3】 若向量a=(4,2),b=(6,m),且ab,则m的值是()A.12B.3C.-3D.-12解析:ab,46+2m=0,解得m=-12.答案:D,名师点拨在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式ab=a1b1+a2b2以及相关的向量的长度公式和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思想.值得注意的是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可使问题快速得解.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)
3、(a-2b).分析:先求出ab,a2,b2,再对(3a-b)(a-2b)展开求解;或先将3a-b,a-2b的坐标求出,再进行运算.解法一:ab=23+(-1)(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,(3a-b)(a-2b)=3a2-7ab+2b2=35-78+213=-15.解法二:a=(2,-1),b=(3,-2),3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1),a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3).(3a-b)(a-2b)=3(-4)+(-1)3=-15.反思对于数量积的坐标运算有两种方法:一是先化简再代入向量的坐标,二是先确定向量的坐标,
4、再计算数量积.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知向量a与b共线,b=(1,2),ab=10,求a的坐标.解:a与b共线,设a=b.ab=10,bb=b2=10.b=(1,2),b2=5,=2.a=2b=2(1,2)=(2,4).,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a(a-b),则实数x等于()A.9B.4C.0D.-4解析:a(a-b),a(a-b)=0,a2-ab=5-(x-4)=0,解得x=9.答案:A反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题也可先求出a-b的坐标,再代入a(a-b)=0,解得x
5、.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知三角形各顶点坐标求其内角时,可转化为求向量的夹角问题.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:以上错解是由于思考欠全面,由不等价转化而造成的.如当a与b同向时,即a与b的夹角=0时cos =10,此时=-2,显然是不合理的.正解:a与b的夹角为锐角,cos 0,且cos 1,即ab0,且a与b方向不同,答案:A反思对非零向量a与b,设其夹角为,则为锐角cos 0,且cos 1ab0,且amb(m0);为钝角cos 0,且cos -1ab0,且amb(m0);为直角cos =0ab=0.,
