1、【选题明细表】知识点、方法 题号等比数列的性质及应用 1、2、3、5、6、8等比数列与等差数列综合 4、7、9、10、11实际应用 12基础达标1.将公比为 q 的等比数列a n依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,此数列是( B )(A)公比为 q 的等比数列 (B)公比为 q2的等比数列(C)公比为 q3的等比数列 (D)不一定是等比数列解析:由于 = =qq=q2,n2 且 nN *,a nan+1是以 q2为公比的等比数列.故选 B.2.(2014 潍坊高二期末)公比为 的等比数列a n的各项都是正数,且a4a6=16,则 a7等于( B )(A) (B)1 (
2、C)2 (D)4解析:由 a4a6=16 得 =16,a 5=4,a 7=a5q2=4( )2=1.故选 B.3.(2014 珠海市高二期末)已知a n为等比数列,且 an0,若a2a4+2a3a5+ =16,那么 a3+a5等于( D )(A)4 (B)2 (C)2 (D)4解析:由 a2a4+2a3a5+ =16 得 +2a3a5+ =16,(a 3+a5)2=16,a n0,a 3+a5=4.故选 D.4.已知等比数列a n中,a 3a11=4a7,数列b n是等差数列,且 b7=a7,则b5+b9等于( C )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:等比数列a n中,a 3a11
3、= =4a7,解得 a7=4,等差数列b n中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选 C.5.等比数列a n中,a 7a11=6,a4+a14=5,则 等于( A )(A) 或 (B)(C) (D) 或-解析:数列a n为等比数列,a 4a14=a7a11=6.又 a4+a14=5, 或 =q10= 或 =q10= , =q10= 或 .故选 A.6.在等比数列a n中,各项都是正数,a 6a10+a3a5=41,a4a8=4,则 a4+a8= .解析:a 6a10= ,a3a5= , + =41,又 a4a8=4,(a 4+a8)2= + +2a4a8=41+8=49,数列各项都是正数,a
4、4+a8=7.答案:77.三个数 a,b,c 成等比数列,公比 q=3,又 a,b+8,c 成等差数列,则这三个数依次为 . 解析:a、b、c 成等比数列,且 q=3,a= ,c=3b.又 a,b+8,c 成等差数列,2(b+8)=a+c,即 2(b+8)= +3b,b=12,a=4,c=36.答案:4,12,36能力提升8.在由正数组成的等比数列a n中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为( A )(A) (B) (C)2 (D)解析:a 4a5a6=3, =3,a 5= .log 3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1
5、a2a8a9)=log3=4log3a5=4log3 = .选 A.9.已知数列a n是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a9构成等比数列bn,则b n的公比为 . 解析:设a n的公差为 d,依题意有 =a1a9.即(a 1+2d)2=a1(a1+8d),4a 1d=4d2,d0,a 1=d.于是b n的公比为 q= = = =3.答案:310.三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3,9就成为等比数列,则此三个数为 . 解析:设所求三个数为 a-d,a,a+d.由题意得解得 或又a-d,a,a+d 为正数,a=5,d=2,所求三个数为 3,5,7.答案:3,
6、5,711.若a n是公差 d0 的等差数列,b n是公比 q1 的等比数列,已知 a1=b1=1,且 a2=b2,a6=b3.(1)求 d 和 q;(2)是否存在常数 a,b,使对一切 nN *都有 an=logabn+b 成立?若存在,求出 a、b 的值,若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得解得 d=3,q=4.(2)假设存在常数 a,b.由(1)得 an=3n-2,bn=4n-1,代入 an=logabn+b 得 3n-2=loga4n-1+b,即(3-log a4)n+(loga4-b-2)=0 对 nN *都成立,所以存在常数 a= ,b=1 使等式成立.探究创新12.从盛满 a
7、(a1)升纯酒精的容器里倒出 1 升后,添满水摇匀,再倒出 1 升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问:第 n 次操作后溶液的浓度是多少?若 a=2,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解:设开始的浓度为 1,操作一次后溶液浓度 a1=1- ,设操作 n 次后溶液的浓度为 an,则操作 n+1 次后溶液的浓度为 an+1=an(1- ),从而建立了递推关系.a n是以 a1=1- 为首项,公比为 q=1- 的等比数列,a n=a1qn-1=(1- )n,即第 n 次操作后酒精的浓度是(1- )n.当 a=2 时,由 an=( )n ,解得 n4.故至少应倒 4 次后才能使酒精浓度低于 10%.
