1、1.1.2 余弦定理【选题明细表】 知识点、方法 题号已知两边及一角解三角形 2、6、9已知三边或三边关系解三角形 1、3、9利用余弦定理判断三角形的形状 4、7综合应用问题 5、8、10、11、12、13基础巩固1.在ABC 中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则 A 等于( B )(A)90 (B)60 (C)120 (D)150解析:因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以 b2+c2-a2=bc,所以 cos A= = ,所以 A=60.故选 B.2.在ABC 中,a=4,b=4,C=30,则 c2等于( A )(A)32-16 (B)32+16(C)16 (D)48解析:由
2、余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+42-244 =32-16 .3.边长为 5,7,8 的三角形中,最大角与最小角之和为( B )(A)90 (B)120 (C)135 (D)150解析:设边长为 5、7、8 的对角分别为 A、B、C.则 A0,所以 a=1.答案:17.在ABC 中,若 B=60,b2=ac,则其形状是 . 解析:由余弦定理可得 cos 60= ,即 = ,于是 a2+c2-ac=ac,所以(a-c) 2=0,因此 a=c,又 B=60,所以ABC 是等边三角形.答案:等边三角形8.在三角形 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 m=(
3、b,cos B),n=(sin A,-a),且 mn.(1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求ABC 的面积.解:(1)m=(b, cos B),n=(sin A,-a)因为 mn,所以 bsin A- acos B=0,sin Bsin A- sin Acos B=0,而 sin A0,所以 sin B- cos B=0,tan B= ,又 0B180,所以 B=60.(2)b2=a2+c2-2accos B,b=3,所以 a2+c2-ac=9. 又因为 sin C=2sin A,所以 c=2a. 由得 a= ,c=2 ,所以 SABC = 2 sin 60=
4、.能力提升9.在ABC 中,已知 A=30,且 3a= b=12,则 c 的值为( C )(A)4 (B)8 (C)4 或 8 (D)无解解析:由已知得 a=4,b=4 ,所以根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即 16=48+c2-24 c ,整理得 c2-12c+32=0,解得 c=4 或 8,故选 C.10.在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,已知 cos2 = ,则ABC 是( D )(A)等腰三角形 (B)等边三角形(C)等腰直角三角形 (D)直角三角形解析:因为 cos 2 = = ,所以 cos A= = ,即 a2+c2=b2,所以ABC 是
5、直角三角形.11.在ABC 中,a,b,c 为角 A、B、C 的对边,且 b2=ac,则 B 的取值范围是( A )(A)(0, (B) ,)(C)(0, (D) ,)解析:cos B= + ,因为 0B,所以 B(0, .故选 A.12.(2015 潍坊四县市高二期中)如图,在四边形 ABCD 中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求 BD,BC 的长.解:在ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即 142=x2+102-210xcos 60,整理得 x2-10x-96=0,解得 x1=16 或 x2=-6(舍去),所
6、以 BD=16.由正弦定理得 = ,所以 BC= sin 30=8 .探究创新13.在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 cos C+(cos A- sin A)cos B=0.(1)求角 B 的大小;(2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.解:(1)因为 cos C+(cos A- sin A)cos B=0,所以-(cos Acos B-sin Asin B)+cos Acos B- sin Acos B=0,所以 sin Asin B- sin Acos B=0,因为 sin A0,所以 tan B= ,所以 0B,所以 B= .(2)b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2ac=1-3ac=1-3a(1-a)=3a2-3a+1=3(a2-a)+1=3(a- )2- +1=3（a- ） 2+ ,由 0a1,得 b 21,所以 b1.
