1、第十四章 金属塑性成形解析方法,第一节 塑性成形问题的解与简化,一、塑性成形问题解的概念,塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所需的变形力，这是合理选用加工设备、正确设计模具和制订工艺规程所不可缺少的。 由于塑性成形时变形力是通过工具表面或毛坯的弹性变形区传递给变形金属的，所以为求变形力，需要确定变形体与工具的接触表面或变形区分界面上的应力分布。塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态的基本方程。,一、塑性成形问题解的概念,对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包含六个未知数 ，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本构方程）和三个变形连续性方
2、程，共得十三个方程，包含十三个未知数（六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求解。 根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。 1 主应力法（又称初等解析法） 2 滑移线法 3 上限法 4 板料成形理论 5 有限元法,二、塑性成形问题的简化,1 平面应变问题 对于平面应变问题，变形体内各点的位移分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的位移分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的位移为零，则有：,将上式带入到应变增量与位移增
3、量之间关系的几何方程，可得：,二、塑性成形问题的简化,根据塑性变形的增量理论可知：,由上式可知，z永远为空间主应力，并且是一个不变量。最大切应力为,当主应力顺序 已知时，由以上两式可得,二、塑性成形问题的简化,由此可见，对于平面应变问题，变形体内任意一点的应力状态都可以用平均应力和最大切应力来表示。平面应变状态下的应力平衡微分方程为：,设2为中间主应力，则Tresca准则为,Mises准则为,二、塑性成形问题的简化,2 平面应力问题 对于平面应力问题，变形体内各点的应力分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的应力分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的应力为零，则有：,应力平衡微分方程
4、为,二、塑性成形问题的简化,则主应力有以下方程：,Tresca屈服准则为,Mises屈服准则为,3 轴对称问题 对于轴对称问题，变形体的几何形状、物理性质以及载荷都对称于某一坐标轴，通过该坐标轴的任一平面都是对称面，则变形体内的应力、应变、位移也对称于此坐标轴。采用圆柱坐标系分析此类问题。假设z为对称轴，在轴对称应力状态下，由于其对称性，旋转体的每个子午面(通过z轴的平面)始终保持平面，并且各子午面之间的夹角保持不变，所以沿坐标方向上的位移分量为零，即：,二、塑性成形问题的简化,将上式带入小变形几何方程可得,二、塑性成形问题的简化,由应力应变关系式可得,由上式可知，子午面上的应力永远是主应力，
5、这样轴对称应力状态下的应力张量可以写为,则轴对称应力状态下的应力平衡微分方程可写为,二、塑性成形问题的简化,Tresca屈服准则为,Mises屈服准则为,当,时，Mises屈服准则可简化为,三、边界条件,1 摩擦边界条件 在塑性加工过程中，变形体与工具的接触面上不可避免的存在摩擦，摩擦力的方向与接触线的切线方向一致，并与变形体质点的运动方向相反，阻碍质点的流动。摩擦问题比较复杂，影响因素很多的，常用的摩擦模型有以下两种： (1) 库仑摩擦模型 用库仑定律来描述变形体与工具接触表面之间的摩擦，即按接触表面上任意一点的摩擦切应力与正压应力成正比。其表达式为： 式中 为摩擦切应力； 为接触面上的正压
6、应力；为摩擦因数(该值一般根据经验确定，与变形速度无关。当接触表面温度不变时，设其为常数)。 (2)常摩擦力模型 该模型可以用下式表示： 式中，m为摩擦因子，其值范围为0,1；k为抗剪屈服强度。 上式表明，接触面上任意一点的摩擦切应力 与正压力无关，与变形体的抗剪屈服强度成正比。一般m=1，即最大摩擦力条件。,三、边界条件,3 准边界条件 在塑性变形过程中，在变形体内部某些区域的边界上也有规定的力，例如对称面上的切应力必须为零；塑性流动区与刚性区或死区边界上的切应力等于抗剪屈服强度k。这些界面虽然不是变形体的自然边界，但是，当以变形体内某部分作为研究对象时，这些界面就成为研究对象的边界面，通常
7、将变形体内部各部分之间交界面上所应该满足的变形条件称为准应力边界条件。,2 自由边界条件 将裸露的、不与任何物体相接触的边界面称为自由边界面。处于自由边界面上的变形体不受任何约束力的作用，大气压力可以忽略不计，因此，在自由边界面上的正应力和切应力均为零。,第二节 主应力法,主应力法是以均匀变形假设为前提的，将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程，将Mises屈服准则的二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。,一 主应力法的概念 是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解过程大大简化。
8、其基本要点如下：,一 主应力法的概念,(1) 把变形体的应力和应变状态简化成平面问题(包括平面应变状态和平面应力状态)或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即 。对于形状复杂的变形体，可以把它划分为若干形状简单的变形单元，并近似地认为这些单元的应力应变状态属于平面问题或轴对称问题。例如，根据连杆模锻时的金属流动模型(图1)，可将锻件的左、右半图视为轴对称变形部分，而中间部分视为平面变形部分。,图1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向,一 主应力法的概念,一 主应力法的概念,(2) 根据金属流动的方向，沿变形体整个(或部分)截面(一般为纵截面)切取
9、包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力。这样，在研究基元体的力的平衡条件时，获得简化的常微分方程以代替精确的偏微分方程。接触面上的摩擦力可用库仑摩擦条件或常摩擦条件等表示。,(3) 在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑性条件大大简化。,一 主应力法的概念,(4) 将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。 由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故此得名“主应力法”。主应力法的数学演算比较简单，在实际应用中主应力法除了用于
10、计算变形力以外，还可以用来求解某些变形问题。主应力法得到的是解析解，从解的数学表达式中，可以看出各有关参数(如摩擦系数、变形体的几何尺寸等)对求解结果的影响，因而在金属塑性成形分析中应用非常广泛。但是，这种方法只能确定接触面上的应力大小和分布，且计算结果的准确性与所作假设和实际情况的接近程度有关。,二 平面应变镦粗的变形力,设长矩形板坯在变形某瞬时的宽度为a，高度为h，长度为l(la)，故可近似地认为坯料沿l 向无变形，属于平面变形问题。用主应力法计算变形力的步骤如下：,(1) 切取基体。在垂直于y 轴的截面上切取包括接触面在内的高度为坯料瞬时高度h，宽度为dx 的基元体。按主应力法原理，在接
11、触面上作用有主应力y 和接触切应力 (见图2a)。 (2)列出基元体沿x 轴方向的平衡微分方程。,图2 平行砧板间平面应变锻粗 及垂直应力y 的分布图形,(3)采用常摩擦条件，即 (m 为摩擦因子， )。,二 平面应变镦粗的变形力,(4)列出的简化屈服方程。因为上式中的应力代表其绝对值，对于镦粗变形，可判断出y 的绝对 值必大于x的绝对值，所以有,(5)联解平衡微分方程和简化屈服方程， 并将摩擦条件代入得：,(6)利用应力边界条件求积分常数C：,y 的分布图形见图2b所示。,(7)将 y应力沿接触面积分可求出镦粗力和单位压力。,二 平面应变镦粗的变形力,式中的 表示工件外端( )处的垂直压应力
12、(绝对值)，若该处为自由表面有 ，则由 (4)式得 ；否则由相邻变形区所提供的边界条件确定。由 (6)式和 (7)式，可方便求出宽度为a、高度为h 的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力 和单位变形力p (均为绝对值)：,上述求解过程采用的是库仑摩擦条件,而实际塑性镦粗时接触面上的摩擦情况较为复杂,通常存在几种摩擦条件,因此求接触面上的压力分布时需分区考虑。,三 轴对称镦粗的变形力,图3 表示平行砧板间的轴对称镦粗。图中基元板块的平衡方程式为,因 是一极小微量，故 ，同时略去二阶微量，则上式化简为,假定为均匀镦粗变形，有,得,所以按绝对值的简化屈服方程，因 ，故有,联解得,假设接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得,三 轴对称镦粗的变形力,解得,图3 轴对称镦粗变形 及基元板块受力分析,为工件外端 处的垂直压应力。若该处为自由表面， 则 ；否则由相邻变形区提供的边界条件确定。,若= mK(K = Y/2)，则可由上述公式求出高度为h、直径为d 的圆柱体自由镦粗时接触面上的压应力 和单位变形力p：,
