【导与练】人教版高中数学必修5：第二章　数列 第一课时　等比数列的概念与通项公式.doc

1、2.4 等比数列第一课时 等比数列的概念与通项公式【选题明细表】知识点、方法 题号等比数列的定义 1、10等比数列的通项公式 2、4、6、8、9、10、11等比中项 7综合问题 3、5、12、13基础巩固1.(2015 洛阳高二检测)数列 a,a,a,a,(aR)必为( D )(A)等差数列但不是等比数列(B)等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列,又是等比数列(D)以上都不正确解析:当 a0 时,该数列是等差数列,也是等比数列,当 a=0 时,是等差数列,但不是等比数列,故选 D.2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析

2、:() n-1=,所以() n-1= =()3,所以 n=4,故选 B.3.若方程 x2-5x+m=0 与 x2-10x+n=0 的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 的值为( A )(A) (B) (C)2 (D)4解析:设方程 x2-5x+m=0 的两根为 x1,x2,方程 x2-10x+n=0 的两根为 x3,x4,则令 x1=1,由题意知 x2=4,x3=2,x4=8,所以 m=4,n=16,所以 =.故选 A.4.各项均为正数的等比数列a n中,2a 1+a2=a3,则 的值为( D )(A)-1 (B)-1 或 2 (C)3 (D)2解析:设a n的公比为 q

3、(q0),则 2a1+a1q=a1q2,所以 q2-q-2=0,所以 q=2 或 q=-1(舍去),所以 = =q=2.故选 D.5.(2015 灵璧中学抽测)数列a n为等差数列,a 1,a2,a3成等比数列,a5=1,则 a10等于( D )(A)5 (B)-1 (C)0 (D)1解析:设公差为 d,由已知得解得所以 a10=a1+9d=1,故选 D.6.在数列a n中,a 1=2,且对任意正整数 n,3an+1-an=0,则 an= .解析:因为 3an+1-an=0,所以 =,因此a n是以为公比的等比数列,又 a1=2,所以 an=2()n-1.答案:2() n-17.若 x,2x+

4、2,3x+3 是一个等比数列的连续三项,则 x 的值为 .解析:由于 x,2x+2,3x+3 成等比数列,所以 = =且 x-1,0.所以 2(2x+2)=3x,所以 x=-4.答案:-48.在等比数列中:(1)若 a4=27,q=-3,求 a7;(2)若 a2=18,a4=8,求 a1与 q;(3)若 a5-a1=15,a4-a2=6,求 a3.解:(1)a 7=a4q3=27(-3)3=-729.(2)由 得解得 或(3)法一 由得即解得 或所以 a3=a1q2=-4 或 4.法二 由已知得 可解得 a3=4.能力提升 9.已知正项等比数列a n满足:a 7=a6+2a5,若存在两项 am

5、、a n,使得=4a1,则 m+n 的值为( B )(A)10 (B)6(C)4 (D)不存在解析:因为 a7=a6+2a5,所以 a5q2=a5q+2a5,又 a50,所以 q2=q+2,所以 q=2 或 q=-1,又 an0,所以 q=2.又 =4a1,所以 aman=16 ,所以 qm-1qn-1=16 ,所以 qm+n-2=16,即 2m+n-2=24,所以 m+n-2=4,所以 m+n=6.故选 B.10.如果数列 a1, , , ,是首项为 1,公比为- 的等比数列,那么 a5等于( A )(A)32 (B)64(C)-32 (D)-64解析:由已知得 =(- )n-1,则 =-

6、,=(- )2,=(- )3,=(- )4,以上四式相乘得 a5=(- )1+2+3+4,解得 a5=32.故选 A.11.若数列a n的前 n 项和为 Sn,且 an=2Sn-3,则a n的通项公式是 .解析:由 an=2Sn-3 得 an-1=2Sn-1-3(n2),两式相减得 an-an-1=2an(n2),所以 an=-an-1(n2), =-1(n2).故a n是公比为-1 的等比数列,令 n=1 得 a1=2a1-3,所以 a1=3,故 an=3(-1)n-1.答案:a n=3(-1)n-112.已知数列a n满足 a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列a n+1是等比数

7、列;(2)求数列a n的通项公式.(1)证明:因为 an+1=2an+1,所以 an+1+1=2(an+1).由 a1=1,知 a1+1=20,可得 an+10.所以 =2(nN *).所以数列a n+1是等比数列.(2)解:由(1)知a n+1是以 a1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列.所以 an+1=22n-1=2n,即 an=2n-1.探究创新13.已知两个等比数列a n,bn,满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若 a=1,求数列a n的通项公式;(2)若数列a n唯一,求 a 的值.解:(1)设等比数列a n的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由 b1,b2,b3成等比数列,得(2+q) 2=2(3+q2),即 q2-4q+2=0 解得 q1=2+ ,q2=2- ,所以a n的通项公式为 an=(2+ )n-1或 an=(2- )n-1.(2)设a n的公比为 q,则由 =b1b3得(2+aq) 2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0,(*)由 a0 得 =4a 2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根,由数列a n唯一,知方程(*)必有一根为 0,将 q=0 代入方程(*)得 a=.