1、4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】 知识点、方法 题号直线与圆位置关系的判定 1、2相交问题 4、6、7、8、11相切问题 3、5、9直线与圆位置关系的应用 10、12、13基础巩固1.(2015 景德镇期末)直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2x+4y-11=0 的位置关系是( D )(A)相离 (B)相切(C)相交过圆心 (D)相交不过圆心解析:圆心(1,-2)到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= = ,圆的半径 r=4.所以 d4,即点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 外,故选 A.3.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切
2、,则 m 的值为( B )(A)0 或 2 (B)2 (C) (D)无解解析:因为直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,所以(0,0)到直线 x+y+m=0 的距离为 (m0),即 = ,整理,得 m2=2m.解得 m=2 或 m=0(舍去),故选 B.4.过点(0,1)的直线与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( B )(A)2 (B)2 (C)3 (D)2解析:当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点 G(0,1)的连线与直线 AB 垂直时,圆心到直线 AB 的距离取得最大值,即d=|OG|=1,此时弦长最短,即 = |AB|2 ,故选 B
3、.5.(2015 蚌埠一中月考)若圆心在 x 轴上,半径为 的圆位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程为( D )(A)(x- )2+y2=5 (B)(x+ )2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5解析:设圆心(a,0)(a0),由题意,得= ,得|a|=5,即 a=-5.所以圆 O 的方程为(x+5) 2+y2=5,故选 D.6.(2014 高考重庆卷)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 ACBC,则实数 a 的值为 . 解析:因为圆 C 的标准方程为(x+1) 2+
4、(y-2)2=9,所以圆心为 C(-1,2),半径为 3.因为 ACBC,所以|AB|=3 .因为圆心到直线的距离 d= ,所以|AB|=2 =2 =3 ,即(a-3) 2=9,所以 a=0 或 a=6.答案:0 或 67.(2014 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 . 解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d= = ,所以弦长为 2 =2 = .答案:8.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 所得弦长为 2 的圆的方程.解:设圆心为(a,b),半径
5、为 r,因为圆与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,所以 b=3a,r=|b|=|3a|,圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离 d=由 r2-d2=( )2,得 a=1 或-1,所以圆心坐标为(1,3)或(-1,-3),半径 r=3.所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9 或(x+1) 2+(y+3)2=9.能力提升9.若直线 ax+by-3=0 和圆 x2+y2+4x-1=0 相切于点 P(-1,2),则 ab 的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆标准方程为(x+2) 2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以 = ,整理得
6、a2-12a+5b2-9=0 且直线过 P(-1,2),代入得 2b-a-3=0,两式联立,得 a=1,b=2,所以 ab=2,故选 C.10.(2015 江西崇义中学月考)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 有公共点,则 b 的取值范围是( C )(A)-1,1+2 (B)1-2 ,1+2 (C)1-2 ,3 (D)1- ,3解析:曲线 y=3- 表示圆(x-2) 2+(y-3)2=4 的下半圆,如图所示,当直线 y=x+b 经过点(0,3)时,b 取最大值 3,当直线向下平移至与半圆相切时,b 取最小值.由 =2b=1-2 或 1+2 (舍去),故 bmin=1-2 ,b 的取值范围为1
7、-2 ,3,故选 C.11.(2014 高考重庆卷)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= .解析:由题意可知圆的圆心为 C(1,a),半径 r=2,则圆心 C 到直线ax+y-2=0 的距离 d= = .因为ABC 为等边三角形,所以|AB|=r=2.又|AB|=2 ,所以 2 =2,即a2-8a+1=0,解得 a=4 .答案:412.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程;(2)求经过原点且被
8、圆 C 截得的线段长为 2 的直线方程.解:(1)因为切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为x+y=a,所以圆 C(-1,2)到切线的距离等于圆半径 ,即 = ,所以 a=-1 或 a=3.所求切线方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0.(2)当直线斜率不存在时,直线即为 y 轴,此时交点坐标为(0,1),(0,3),被圆 C 截得的线段长为 2,符合题意,直线方程为 x=0.当直线斜率存在时,设直线方程为 y=kx,即 kx-y=0,由已知得,圆心到直线的距离为 1,则 =1k=- ,直线方程为 y=- x,综上,所求直线方程为 x=0 或 y=- x.探究创新13.已知圆 C
9、的方程:x 2+y2-2x-4y+m=0,其中 m5.(1)若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|= ,求 m 的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线 l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l 的距离为 ,若存在,求出 c 的范围,若不存在,说明理由.解:(1)圆的方程化为(x-1)+(y-2) 2=5-m,圆心 C(1,2),半径 r= ,则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离 d= = ,由于|MN|= ,则 |MN|= ,有 r2=d2+ ,所以 5-m= + ,得 m=4.(2)假设存在直线 l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ,由于圆心 C(1,2),半径 r=1,则圆心 C(1,2)到直线 l:x-2y+c=0 的距离为 d= = ,解得 4- c2+ .