1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示,2.3.1平面向量基本定理,1.了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面内的任一向量.2.掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.,1,2,1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.名师点拨对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.,1,2,1,2,
2、1,2,1,2,1.理解平面向量基本定理剖析:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量.(2)对于给定的向量a,实数1,2存在且唯一.实数1,2的唯一性是相对于基底e1,e2而言的.(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的分解是唯一的.(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.(5)零向量与任意向量共线,故不能作为基底中的向量.,2.理解向量的夹角剖析:(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向量平行
3、,因此不讨论与零向量有关的夹角问题.(3)特别地,a与b的夹角为,1a与2b(1,2是非零常数)的夹角为0,当120时,0=.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:e1与e1+e2;e1-2e2与e2-2e1;e1-2e2与4e2-2e1;e1+e2与e1-e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是.(写出所有满足条件的序号),题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,答案:反思根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题.若不共线,则它们可以作为一组基底;若共线,则它们不能作为一组基底.,
4、题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,要仔细观察所给图形,把所求向量放在三角形或平行四边形中,借助于平面几何知识和共线向量定理,结合平面向量基本定理解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角是多少?分析:解答本题可先作图,再利用平面几何知识求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,
