1、专题六 二次函数中的综合问题,规律与策略)二次函数问题是贵阳中考必考内容，每年都有一道大题，并且都位于后两道试题的位置，主要与几何图形、一次函数等知识结合起来考查，分值12分.2018年贵阳中考对二次函数存在性问题肯定会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、面积最值、特殊四边形和一次函数等内容综合成问题,中考重难点突破)1(2017泰安中考)如图是将抛物线yx 2平移后得到的抛物线 ，其对称轴为直线x1，与x轴的一个交点为A(1， 0)，另一交点为 B，与 y轴交点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点N为抛物线上一点 ，且 BCNC ，求点N 的坐标；(3)点P是
2、抛物线上一点，点Q是一次函数y x 的图象上一点 ，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P32 32，Q是否存在？若存在，分别求出点 P，Q 的坐标，若不存在 ，说明理由. 【解析】(1)已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式， 利用待定系数法求函数表达式；(2) 首先求得B 和C的坐标，易证OBC是等腰直角三角形，过点N作NHy 轴，垂足是点H，设点N纵坐标是(a ，a 22a3)，根据CHNH 即可列方程求解；(3)四边形OAPQ是平行四边形 ，则PQOA 1，且PQOA ，设P(t，t 22t 3) ，代入y x ，即可求解32 32【答案】解：(1)设抛物线的表达式是y(x 1) 2
3、k.把(1，0) 代入得0( 11) 2k，解得k4，则抛物线的表达式是y(x1) 24，即yx 22x3；(2)在yx 22x3中令x0，则y3，即C的坐标是(0，3)，OC3.B的坐标是(3，0)，OB 3，OCOB ，则OBC 是等腰直角三角形，OCB45.过点N作NHy轴，垂足是H.NCB90，NCH45，NHCH，HOOCCH3CH 3 NH，设点N的坐标是(a，a 22a3) a3a 22a 3，解得a0( 舍去)或a 1，N的坐标是(1，4)；(3)如图，四边形OAPQ 是平行四边形，PQOA1，且PQ OA.设P(t，t 22t3)，则Q(t1，t 22t 3) ，将Q点坐标代
4、入y x ，32 32得t 22t3 (t1) ，32 32整理，得2t 2t0，解得t0或 .12t 22t3的值为3或 .154P，Q的坐标是 (0，3)，(1，3)或 ， .(12， 154) (32， 154)2(随州中考)已知抛物线ya(x3)(x1)(a0)，与x轴从左至右依次相交于 A，B 两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y xb与抛物线的另一个交点为D.3(1)若点D的横坐标为 2，求抛物线的函数表达式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A ，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点( 不含端点)，连接BE
5、.一动点Q从点B出发，沿线段BE 以每秒1个单位长度的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位长度的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少233时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解析】(1)根据二次函数的交点式确定点A ，B 的坐标， 求出直线的表达式，求出点D 的坐标，求出抛物线的表达式；(2)作 PHx轴于H，设点P的坐标为(m，n)，分BPAABC 和PBAABC，根据相似三角形的性质计算即可；(3) 作DM x轴交抛物线于点M，作DNx轴于点N，作EFDM于点F，根据正切的定义求出点Q的运动时间tBEEF时，t最小即可【答案】解：(1)ya(x 3)(x1)，点A的坐标为(
6、3，0)，点B的坐标为(1，0) 直线y xb经过点A，b3 ，3 3y x3 .3 3当x2时，y5 ，3则点D的坐标为(2，5 )，3点D在抛物线上，a(23)(21)5 ，3解得a ，3则抛物线的表达式为y (x3)(x1) x22 x3 ；3 3 3 3(2)如答图，作PH x轴于点 H，连接CB，PA，PB.设点P的坐标为(m，n)，当BPA ABC时，BACPBA，tanBACtanPBA ，即 .OCOA PHBH当x0时，ya(03)(0 1)3a，即OC3a ，BH x Bx P1m ， ，即na(m1)， 3a3 n m 1 n a（m 1），n a（m 3）（m 1），
7、)解得：m 14，m 21(不合题意，舍去) ，当m4时，n5a ，BPAABC， ，即AB 2ACPB.ACAB ABPB又ABx Bx A1(3)4，AC ，32 （ 3a）2 9a2 9PB .（1 4）2 （5a）2 25 25a24 2 ，9a2 9 25a2 25解得：a 1 (不合题意，舍去 )，a 2 ，1515 1515则n5a ，点P 的坐标为 ；来源:学优高考网gkstk153 ( 4， 153)当PBA ABC时，CBAPBA，tanCBAtanPBA ，即 ，OCOB PHHB ，即n3a(m1)， 3a1 n m 1 n 3a（m 1），n a（m 3）（m 1），
8、 )解得：m 16，m 21(不合题意，舍去) 当m6时，n21a ，PBA ABC， ，即AB 2BCPB，BCBA ABPB4 2 ，1 9a2 72 （ 21a）2解得：a 1 (不合题意，舍去 )，a 2 ，77 77则点P的坐标为(6，3 )7综上所述，符合条件的点P的坐标为 或(6，3 )；( 4， 153) 7(3)如答图，作DM x轴交抛物线于点M，作DNx轴于点N，作EFDM于点F.在(1)的条件下，D(2，5 )，3则tanDAN ，DNAN 535 3DAN60，EDF60，DE EF，EFsin EDF 233Q的运动时间t BE EF ，BE1 DE233当BE和EF
9、共线时，t最小，此时BEDM，x Ex B1，y E4 .3点E的坐标为(1，4 )时，点Q在整个运动过程中所用时间最少33(本溪中考)如图，抛物线yax 2bx(a0)经过点A(2，0)，点B(3，3)，BCx轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上 ，点E的坐标为(4，0)， 点F与原点重合(1)求抛物线的表达式并直接写出它的对称轴；(2)DEF 以每秒 1个单位长度的速度沿 x轴正方向移动，运动时间为 t s，当点 D落在BC 边上时停止运动，设DEF与OBC 的重叠部分的面积为S，求出S 关于t的函数关系式；(3)点P是抛物线对称轴上一点 ，当ABP 是直角三角形时，
10、请直接写出所有符合条件的点P坐标【解析】(1)根据待定系数法解出表达式和对称轴即可；(2)从三种情况分析当0t 3时，DEF与OBC重叠部分为等腰直角三角形；当3t4时，DEF与OBC 重叠部分是四边形；当4t 5时，DEF与OBC重叠部分是四边形得出S关于t 的函数关系式即可；(3)直接写出当ABP是直角三角形时符合条件的点P坐标【答案】解：(1)根据题意得 解得0 4a 2b，3 9a 3b， ) a 1，b 2， )抛物线表达式是yx 22x，来源:gkstk.Com对称轴是直线x1；(2)由题意知，E(4，0)，F(0 ，0) DEF为等腰直角三角形，故D(2，2) ，来源:学优高考网
11、又知B(3，3)，故C(3，0)由移动的速度为每秒1个长度单位，可得t的范围为0t 5.0t3时，如答图所示 ，设两个三角形的交点为H.DEF为等腰直角三角形，故DEF45.又知B(3，3)，C(3，0)，故OBC也是等腰直角三角形， 故BOC45，则DEFBOC.DEBO，则EDFOHF，故OHF 为等腰直角三角形由题可知，移动t秒的距离为 t个单位长度，即OFt，故OH FH t.22则S OHF OHFH t2；12 12 ( 22t)214当3t4时， 如答图所示 ，设两个三角形的交点分别为H，P，重叠部分为四边形由可知HOF为等腰直角三角形，OFt ，SHOF t2.CFt3，14S
12、CPF CPCF (t3) 2，12 12故S 四边形HOCP S OHF S CPH t2 (t3) 2 t23t ；14 12 14 92当4t5时， 如答图所示 ，设两个三角形的交点为H，重叠部分为四边形SDFE DEDF4，12SCHF CHCF (t3) 2，12 12故S 四边形EDHC SDEF S HCF 4 (t3) 2 t23t .12 12 12综上所述，S14t2 （0 t 3）， 14t2 3t 92 （3t 4）， 12t2 3t 12 （4t 5）； )(3)当ABP是直角三角形时，可得符合条件的点P坐标为(1，1) 或(1，2)或 或 .(1， 13) (1，
13、113),针对训练)1.(2017荆州中考)已知关于x的一元二次方程x 2(k5)x 1k0( 其中k为常数)(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)已知函数yx 2(k5)x1k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值解：(1)(k5) 24(1k)k 26k21(k3) 2120，无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)二次函数yx 2(k5)x1k的图象不经过第三象限，二次项系数a1，抛物线开口方向向上(k3) 2120，抛物线与x轴有两个交点设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 1x 2
14、5k0，x 1x21k0，解得k1，即k的取值范围是k1；(3)设方程的两个根分别是x 1，x 2，根据题意，得(x 13)(x 23)0 ，即x 1x23(x 1x 2)90，又x 1x 25k，x 1x21k，代入得，1k3(5k)90，解得k ；52则k的最大整数值为2.2边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA 的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC.以直线AB为对称轴的抛物线过 C，E两点(1)求抛物线的表达式；(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动 ，运动时间为t s过点 P作PF CD于点F ，当 t为何值时，以点
15、P，F ，D为顶点的三角形与COD相似？(3)点M 为直线AB上一动点， 点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)过点E作EGx轴于G点来源:学优高考网四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，OAOC2，OD1，AOCDGE90.DEDC，ODCGDE90.ODCOCD90，OCDGDE.在ODC和GED中， COD DGE， OCD GDE，DC ED， )ODCGED( AAS)，EGOD 1 ，DGOC2.点E的坐标为(3，1) 抛物线的对称轴为直线AB即
16、直线x2，可设抛物线的表达式为ya(x2) 2k，将C，E点的坐标代入表达式 ，得 解得 抛物线的表达式为y (x2) 2 ；4a k 2，a k 1， ) a 13，k 23， ) 13 23(2)若DFP COD，则 PDFDCO ，PDOC ， PDOOCPAOC90，四边形PDOC是矩形，PC OD1，t1；若PFDCOD，则DPFDCO， .PDCD DFODPCF90DCO90 DPFPDF.PC PD，DF CD.12CD ，OD2 OC2 22 12 5DF .52 ，PCPD ，t ，PDCD DFOD 52 5 52 52综上所述：t1或t 时，以点P，F ，D 为顶点的三
17、角形与COD相似；52(3)存在四边形MDEN是平行四边形时，M1(2，1)，N 1(4，2) ；四边形MNDE是平行四边形时，M2(2，3)，N 2(0，2) ；四边形NDME是平行四边形时，M3 ，N 3 .(2， 13) (2， 23)3(衡阳中考)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线yx 1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM.(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断ABM的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线yx的交点称为抛物线的不动点若将 (1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点解：(1)A点为直线 yx
18、1 与x轴的交点，A( 1，0) ，又B点横坐标为2，代入yx 1可求得y3，B(2，3)抛物线顶点在 y轴上，可设抛物线表达式为yax 2c，把A，B两点坐标代入可得 解得 抛物线的表达式为yx 21；a c 0，4a c 3， ) a 1，c 1， )(2)ABM为直角三角形理由如下：由(1)抛物线表达式为yx 21可知M点坐标为(0 ，1)，AM ，AB 3 ，2 32 32 18 2BM 2 ，22 3 （ 1）2 5AM 2AB 2 21820BM 2，ABM为直角三角形；(3)当抛物线yx 21平移后顶点坐标为(m，2m)时，其表达式为 y(x m) 22m，即yx 22mxm 2
19、2m，联立yx，可得 y x，y x2 2mx m2 2m， )消去y整理可得x 2(2m1)xm 22m0.平移后的抛物线总有不动点，方程x 2(2m1)xm 22m0总有实数根，0，即(2m1) 24(m 22m)0，解得m ，14即当m 时，平移后的抛物线总有不动点144如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A ，B两点，B 点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3) (1)求抛物线的表达式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动 ，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；(3)直线l经过A，C 两点，点Q 在抛物线位于y轴左侧的部分上运动 ，直线m经过
20、点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线表达式可得 解得9 3b c 0，c 3， ) b 2，c 3， )抛物线表达式为yx 22x3；(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点 H.在yx 22x3中，令y0可得0x 22x3，解得x1或x3，A点坐标为(1，0)，AB3(1)4，且OC3，S ABC ABOC 436.12 12B(3，0)，C(0，3)，直线BC的表达式为yx3，设P点坐标为(x，x 22x3)，来源:gkstk
21、.Com则M点坐标为(x，x3)P点在第四限，PM yMy Px3(x 2 2x3) x 23x，S PBC PMOH PMHB12 12 PM(OHHB) PMOB PM，12 12 32S 四边形ABPC S ABC S PBC 6 PM，32当PM有最大值时 ，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大PM x2 3x ，(x 32)2 94当x 时，PM max ，则S PBC ，32 94 32 94 278此时P点坐标为 ，(32， 154)S四边形ABPC S ABC S PBC 6 ，278 758即当P点坐标为 时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为 ；(32， 154) 758(3)设直线m交y轴于点N ，交直线l于点G ，则AGBGNCGCN.当AGB和NGC相似时，必有AGBCGB，又AGBCGB180，AGBCGB90，ACO OBN.在Rt AOC和RtNOB中， AOC NOB，OC OB， ACO NBO， )Rt AOCRtNOB(ASA) ，ONOA1，N点坐标为 (0，1)设直线m的表达式为ykx d，把B ，N 两点坐标代入可得 解得3k d 0，d 1， ) k 13，d 1， )直线m表达式为y x1，13即存在满足条件的直线m，其表达式为 yx1.
