1、专题 12 探索性问题一、选择题1 （2017 四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图形中“”的个数为 a1，第 2 幅图形中“”的个数为 a2，第 3 幅图形中“”的个数为a3，以此类推，则 19321 的值为（ ）A 210 B 8461 C 84059 D 760421【答案】C考点：1规律型：图形的变化类；2综合题2 （2017 四川省达州市）如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB=4， AD=3，则顶点
2、 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A2017 B2034 C3024 D3026【答案】D考点：1轨迹；2矩形的性质；3旋转的性质；4规律型；5综合题3 （2017 江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为 2 的 O 上的 A0点出发，沿着射线 A0O 方向运动到 O 上的点 A1处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60的方向运动到 O 上的点 A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线 A2O 方向运动到 O 上的点 A3处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60的方向运动到 O 上的点 A4处；按此规律运动到点 A2017处，则点 A2017与点 A0间的距离是（ ）A4 B
3、23 C2 D0【答案】A【解析】试题分析：如图， O 的半径=2，由题意得，OA1=4， OA2= 3， OA3=2， OA4=23， OA5=2， OA6=0， OA7=4，20176=3361，按此规律运动到点 A2017处， A2017与 A1重合， OA2017=2R=4故选 A考点：1规律型：图形的变化类；2综合题4 （2017 重庆市 B 卷）下列图象都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第个图形中一共有 4 颗，第个图形中一共有 11 颗 ，第个图形中一共有 21 颗 ，按此规律排列下去，第个图形中 的颗数为（ ）A116 B144 C145 D150【答案】B【解析】试题分
4、析：4=12+2，11=23+2+321=34+2+3+4第 4 个图形为：45+2+3+4+5，第个图形中 的颗数为：910+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144故选 B考点：规律型：图形的变化类二、填空题5 （2017 山东省济宁市）请写出一个过点（1，1） ，且与 x 轴无交点的函数解析式： 【答案】 yx（答案不唯一） 考点：1反比例函数的性质；2一次函数的性质；3正比例函数的性质；4二次函数的性质；5开放型6 （2017 山东省济宁市）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形 A4
5、B4C4D4E4F4的面积是 【答案】 318考点：1正多边形和圆；2规律型；3综合题三、解答题7 （2017 四川省南充市）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、 G 分别是边 AD、 BC 的中点， AF= 14AB（1）求证： EF AG；（2）若点 F、 G 分别在射线 AB、 BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍，EF AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形 ABCD 的边长为 4， P 是正方形 ABCD 内一点，当 PABOS，求 PAB 周长的最小值【答案】 （1）证明见解析；（2）成立；（3） 4265【解析】试题分析：（1
6、）由正方形的性质得出 AD=AB， EAF= ABG=90，证出 AFBGE，得出 AEF BAG，由相似三角形的性质得出 AEF= BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出 AOE=90即可；（2）证明 AEF BAG，得出 AEF= BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（2）解：成立；理由如下：根据题意得： AFBG = 12， AEB = 12， AFBG= E，又 EAF= ABG， AEFBAG， AEF= BAG， BAG+ EAO=90， AEF+ EAO=90， AOE=90， EF AG；（3）解：过 O 作 MN AB，交 AD 于 M， BC 于
7、 N，如图所示：则 MN AD， MN=AB=4， P 是正方形 ABCD 内一点，当 S PAB=S OAB，点 P 在线段 MN 上，当 P 为 MN 的中点时， PAB 的周长最小，此时 PA=PB， PM= 12MN=2，连接 EG、 PA、 PB，则 EG AB， EG=AB=4， AOFGOE， FAOEG= 14， MN AB， AOFE = 14， AM=5AE=12= 2，由勾股定理得： PA=2PM= 265， PAB 周长的最小值=2 PA+AB= 26考点：1四边形综合题；2探究型；3动点型；4最值问题8 （2017 四川省达州市）如图，在 ABC 中，点 O 是边 A
8、C 上一个动点，过点 O 作直线 EF BC 分别交 ACB、外角 ACD 的平分线于点 E、 F（1）若 CE=8， CF=6，求 OC 的长；（2）连接 AE、 AF问：当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由【答案】 （1）5；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出 OEC= OCE， OFC= OCF，证出OE=OC=OF， ECF=90，由勾股定理求出 EF，即可得出答案；（2）解：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是
9、矩形理由如下：连接 AE、 AF，如图所示：当 O 为 AC 的中点时， AO=CO， EO=FO，四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90，平行四边形 AECF是矩形考点：1矩形的判定；2平行线的性质；3等腰三角形的判定与性质；4探究型；5动点型9 （2017 四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ，可通过构造直角三角形利用图 1 得到结论：2 1他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x， y） P 的坐标公式： 12x，1y（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运
10、用：（2）已知点 M（2，1） ， N（3，5） ，则线段 MN 长度为 ；直接写出以点 A（2，2） ， B（2，0） ， C（3，1） ， D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标： ；拓展：（3）如图 3，点 P（2， n）在函数 43yx（ x0）的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点 E、 F，使 PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值【答案】 （1）答案见解析；（2） 61；（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3） 85【解析】试题分析：（1）用 P1、 P2的坐标分别表示出 OQ 和 PQ 的长即可证得结论；（3）设 P
11、关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接 PN 交 x 轴于点 S，则可知 OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得 R 的坐标，再由 PR=PS=n，可求得 n 的值，可求得 P点坐标，利用中点坐标公式可求得 M 点坐标，由对称性可求得 N 点坐标，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x轴于点 S，此时 EP=EM， FP=FN，此时满足 PEF 的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值试题解析：（1） P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ， Q1Q2=OQ2 OQ1=x2 x1， Q1Q= 21x，
12、OQ=OQ1+Q1Q=x1+ 21=2， PQ 为梯形 P1Q1Q2P2的中位线， PQ= P = y，即线段 P1P2的中点 P（ x， y） P的坐标公式为 x= ， y= ；（2） M（2，1） ， N（3，5） ， MN= 22(3)(15)= 6，故答案为： 6； A（2，2） ， B（2，0） ， C（3，1） ，当 AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1） ，设 D（ x， y） ，则 x+3=0， y+（1）=2，解得 x=3， y=3，此时 D 点坐标为（3，3） ，当 AC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（7，1） ，当 BC 为对角线时，同理可求得
13、D 点坐标为（1，3） ，综上可知D 点坐标为（3，3）或（7，1）或（1，3） ，故答案为：（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3）如图，设 P 关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接 PN交 x 轴于点 S，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x 轴于点 F，又对称性可知EP=EM， FP=FN， PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，此时 PEF 的周长即为 MN 的长，为最小，设 R（ x， 43） ，由题意可知 OR=OS=2， PR=PS=n， 224()3x=2，解得 x= 65（舍去）或 x= 65， R
14、（ ， 85） ，2268()()5n，解得 n=1， P（2，1） ， N（2，1） ，设 M（ x， y） ，则 2= ， 1y =8，解得 x= ， y=1， M（ 5， ） ， MN= 221()()5 =85，即 PEF 的周长的最小值为 5考点：1一次函数综合题；2阅读型；3分类讨论；4最值问题；5探究型；6压轴题10 （2017 山东省枣庄市）如图，在 ABC 中， C=90， BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心， OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC， AB 于点 E， F（1）试判断直线 BC 与 O 的位置关系，并说明理由；（
15、2）若 BD= 3， BF=2，求阴影部分的面积（结果保留 ） 【答案】 （1） BC 与 O 相切；（2） 23 【解析】试题分析：（1）连接 OD，证明 OD AC，即可证得 ODB=90，从而证得 BC 是圆的切线；试题解析：（1） BC 与 O 相切证明：连接 OD AD 是 BAC 的平分线， BAD= CAD又 OD=OA， OAD= ODA， CAD= ODA， OD AC， ODB= C=90，即 OD BC又 BC 过半径 OD的外端点 D， BC 与 O 相切（2）设 OF=OD=x，则 OB=OF+BF=x+2，由勾股定理得： OB2=OD2+BD2，即（ x+2） 2=
16、x2+12，解得： x=2，即OD=OF=2， OB=2+2=4，Rt ODB 中， OD= 1OB， B=30， DOB=60， S 扇形 AOB= 6043 = 3，则阴影部分的面积为 S ODB S 扇形 DOF= 22 3 = 3故阴影部分的面积为2考点：1直线与圆的位置关系；2扇形面积的计算；3探究型11 （2017 山东省枣庄市）已知正方形 ABCD， P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA， EC（1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证： EA=EC；（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 的中
17、点，连接 AC，判断 ACE 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC，当 EP 平分 AEC 时，设 AB=a， BP=b，求 a： b 及 AEC 的度数【答案】 （1）证明见解析；（2） ACE 是直角三角形；（3） 2：1，45【解析】试题分析：（1）由正方形的性质证明 APE CFE，可得结论；（2）分别证明PA E=45和 BAC=45，则 CAE=90，即 ACE 是直角三角形；（3）分别计算 PG 和 BG 的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得： PEGBC，即 2ba，解得： a= b，得出 a 与 b 的比，再计算 GH 和 BG 的
18、长，由角平分线的逆定理得： HCG= BCG，由平行线的内错角得： AEC= ACB=45试题解析：（1）四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形， AB=BC， BP=BF， AP=CF，在 APE 和 CFE中， AP=CF， P= F， PE=EF， APE CFE， EA=EC；（3）设 CE 交 AB 于 G， EP 平分 AEC， EP AG， AP=PG=a b， BG=a（2 a2 b）=2b a， PE CF， PEBC，即 2ba，解得： a= b， a： b= ：1，作 GH AC 于H， CAB=45， HG= 2AG= （2 b2 b）=（2 2） b，又 BG
19、=2b a=（2 2）b， GH=GB， GH AC， GB BC， HCG= BCG， PE CF， PEG= BCG， AEC= ACB=45考点：1四边形综合题；2探究型；3变式探究12 （2017 山西省）如图， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径， OD AB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的 O 的切线交于点 D（1）若 AC=4， BC=2，求 OE 的长（2）试判断 A 与 CDE 的数量关系，并说明理由【答案】 （1） 52；（2） CDE=2 A【解析】试题分析：（1）在 Rt ABC 中，由勾股定理得到 AB 的长，从而得到半径 AO 再由 AOE ACB，
20、得到OE 的长；（2） CDE=2 A理由如下：连结 OC， OA=OC，1= A， CD 是 O 的切线， OC CD， OCD=90，2+ CDE=90， OD AB，2+3=90，3= CDE3= A+1=2 A， CDE=2 A考点：1切线的性质；2探究型；3和差倍分13 （2017 江苏省盐城市）如图，矩形 ABCD 中， ABD、 CDB 的平分线 BE、 DF 分别交边 AD、 BC 于点E、 F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当 ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由【答案】 （1）证明见解析；（2） ABE=30【解析】试题分析：（1）由矩
21、形可得 ABD= CDB，结合 BE 平分 ABD、 DF 平分 BDC 得 EBD= FDB，即可知BE DF，根据 AD BC 即可得证；（2）当 ABE=30时，四边形 BEDF 是菱形， BE 平分 ABD， ABD=2 ABE=60， EBD= ABE=30，四边形 ABCD 是矩形， A=90， EDB=90 ABD=30， EDB= EBD=30， EB=ED，又四边形 BEDF 是平行四边形，四边形 BEDF 是菱形考点：1矩形的性质；2平行四边形的判定与性质；3菱形的判定；4探究型 14 （2017 江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边 AB 在 y
22、轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D， AE 平分 BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、 D、 E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上， F 与 y 轴相交于另一点 G（1）求证： BC 是 F 的切线；（2）若点 A、 D 的坐标分别为 A（0，1） ， D（2，0） ，求 F 的半径；（3）试探究线段 AG、 AD、 CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【答案】 （1）证明见解析；（2） 52；（3） AG=AD+2CD【解析】试题分析：（1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到 FEA= EAC，得到 FE AC，根据平行线的性质得到 FEB= C=90，证明
23、结论；（2）连接 FD，设 F 的半径为 r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）解：连接 FD，设 F 的半径为 r，则 r2=（ r1） 2+22，解得， r= 5，即 F 的半径为 52；（3）解： AG=AD+2CD证明：作 FR AD 于 R，则 FRC=90，又 FEC= C=90，四边形 RCEF 是矩形， EF=RC=RD+CD， FR AD， AR=RD， EF=RD+CD= 12AD+CD， AG=2FE=AD+2CD考点：1圆的综合题；2探究型15 （2017 江苏省盐城市） （探索发现】如图，是一张直角三角形纸片， B=60，小明想从中剪出一个以 B 为内角且面积最
24、大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、 EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在 ABC 中， BC=a， BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、 N 分别在边 AB、 AC 上，顶点 Q、 M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a， h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形” ABCDE， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ B 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积【实际应用】如图，
25、现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm， BC=108cm， CD=60cm，且 tanB=tanC= 43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、 N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积【答案】 【探索发现】 12；【拓展应用】 4ab；【灵活应用】720；【实际应用】1944【拓展应用】：由 APN ABC 知 PNAEBCD，可得 PN=a hPQ，设 PQ=x，由 S 矩形 PQMN=PQPN2()4ahx，据此可得；【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I， FG 的中点 K，由矩形性质知 AE=EH20、 CD=DH=16，分
26、别证 AEF HED、 CDG HDE 得 AF=DH=16、 CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长 BA、 CD 交于点 E，过点 E 作 EH BC 于点 H，由 tanB=tanC 知 EB=EC、 BH=CH=54， EH=43BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、 CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得试题解析：【探索发现】 EF、 ED 为 ABC 中位线， ED AB， EF BC， EF= 12BC， ED= AB，又 B=90，四边形 FEDB
27、是矩形，则 ABCS矩 形 FED = 12=12BCA= ，故答案为： ；【拓展应用】 PN BC， APN ABC， PNAEBCD，即 hPQa， PN=a hPQ，设 PQ=x，则 S 矩形PQMN=PQPN=x（ a hx）=2ax = 2()4，当 PQ= 2时， S矩形 PQMN最大值为 4ab，故答案为： 4b；【灵活应用】如图 1，延长 BA、 DE 交于点 F，延长 BC、 ED 交于点 G，延长 AE、 CD 交于点 H，取 BF 中点 I， FG 的中点K，由题意知四边形 ABCH 是矩形， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16， EH=20、 DH=1
28、6， AE=EH、 CD=DH，在 AEF 和 HED 中， FAE= DHE， AE=AH， AEF= HED， AEF HED（ASA） ， AF=DH=16，同理CDG HDE， CG=HE=20， BI= 12（ AB+AF）=24， BI=2432，中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE上，过点 K 作 KL BC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 12BGBF= （40+20）（32+16）=720，答：该矩形的面积为 720；【实际应用】如图 2，延长 BA、 CD 交于点 E，过点 E 作 EH BC 于点H，tan B=tanC= 43， B= C， EB=E
29、C， BC=108cm，且EH BC， BH=CH= 12BC=54cm，tan B= H= 43， EH= BH= 4354=72cm，在 Rt BHE 中， BE=2E=90cm， AB=50cm， AE=40cm， BE 的中点 Q 在线段 AB 上， CD=60cm， ED=30cm， CE 的中点 P 在线段 CD 上，中位线 PQ 的两端点在线段 AB、 CD 上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为 14BCEH=1944cm2答：该矩形的面积为 1944cm2考点：1四边形综合题；2阅读型；3探究型；4最值问题；5压轴题16 （2017 江苏省连云港市）如图，已知等腰
30、三角形 ABC 中， AB=AC，点 D、 E 分别在边 AB AC 上，且AD=AE，连接 BE、 CD，交于点 F（1）判断 ABE 与 ACD 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点 A、 F 的直线垂直平分线段 BC【答案】 （1） ABE= ACD；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）证得 ABE ACD 后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论试题解析：（1） ABE= ACD；在 ABE 和 ACD 中， AB=AC， A= A， AE=AD， ABE ACD， ABE= ACD；（2） AB=AC， ABC= ACB，由（1）可知
31、 ABE= ACD， FBC= FCB， FB=FC， AB=AC，点A、 F 均在线段 BC 的垂直平分线上，即直线 AF 垂直平分线段 BC考点：1等腰三角形的性质；2线段垂直平分线的性质；3探究型17 （2017 江苏省连云港市）问题呈现：如图 1，点 E、 F、 G、 H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 上， AE=DG，求证：2ABCDHS=矩 形四 边 形 （ S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH BF，点 G 在 CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E、 G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F、 H 作 AB 边的平
32、行线，四条平行线分别相交于点A1、 B1、 C1、 D1，得到矩形 A1B1C1D1如图 2，当 AH BF 时，若将点 G 向点 C 靠近（ DG AE） ，经过探索，发现：2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+S如图 3，当 AH BF 时，若将点 G 向点 D 靠近（ DG AE） ，请探索 S 四边形 EFGH、 S 矩形 ABCD与 S之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图 4，点 E、 F、 G、 H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH BF， AE DG， S 四边形EFGH=11， HF
33、= 29，求 EG 的长（2）如图 5，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=5，点 E、 H 分别在边 AB、 AD 上， BE=1， DH=2，点 F、 G 分别是边BC、 CD 上的动点，且 FG= 10，连接 EF、 HG，请直接写出四边形 EFGH 面积的最大值【答案】问题呈现： 2ABCDEFGHS=矩 形四 边 形 ；实验探究： 12ABCDABCDEFGHSS=-矩 形 矩 形四 边 形 ；迁移应用：（1） EG= 092；（2） 17【解析】试题分析：问题呈现：只要证明 S HGE= 12S 矩形 AEGD，同理 S EGF= 12S 矩形 BEGC，由此可得 S 四边形
34、 EFGH=S HGE+SEFG=12S矩形 BEGC；实验探究：结论：2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD 根据 = ， = 12， = 12， = 12，即可证明；迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题（2）分两种情形探究即可解决问题试题解析：问题呈现：证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形， AB CD， A=90， AE=DG，四边形 AEGD 是矩形， S HGE= 2S 矩形 AEGD，同理 S EGF= 12S 矩形 BEGC， S 四边形 EFGH=S HGE+S EFG= 12S 矩形 BEGC实验探究：结论：2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD 理
35、由： = 12， = 12， = 12， =12， S 四边形 EFGH= + + + ，2 S 四边形 EFGH=2+2 +2 +2 2 ，2 S 四边形 EFGH=S 矩形ABCD 迁移应用：解：（1）如图 4 中，2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD ， =25211=3= A1B1A1D1，正方形的面积为 25，边长为 5， A1D12=HF25 2=2925=4， A1D1=2， A1B1=32， EG2=A1B12+52=094， EG= 1092（2）2 S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+ ，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大如图 51
36、 中，当 G 与 C 重合时，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大此时矩形 A1B1C1D1面积=1（ 02）= 2如图 52 中，当 G 与 D 重合时，四边形 A1B1C1D1面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大此时矩形 A1B1C1D1面积=21=2，2 02，矩形 EFGH 的面积最大值= 172考点：1四边形综合题；2最值问题；3阅读型；4探究型；5压轴题18 （2017 湖北省襄阳市）如图，在 ABC 中， ACB=90， CD 是中线， AC=BC，一个以点 D 为顶点的45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC、 BC 的延长线相交，交点分别为点
37、E， F， DF 与 AC 交于点 M， DE与 BC 交于点 N（1）如图 1，若 CE=CF，求证： DE=DF；（2）如图 2，在 EDF 绕点 D 旋转的过程中：探究三条线段 AB， CE， CF 之间的数量关系，并说明理由；若 CE=4， CF=2，求 DN 的长【答案】 （1）证明见解析；（2） AB2=4CECF； 103【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到 BCD= ACD=45， BCE= ACF=90，于是得到 DCE= DCF=135，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）解： DCF= DCE=135， CDF+ F=180135=45， CDF+ CDE=45， F= CDE， CDF CED， CDE，即 CD2=CECF， ACB=90，AC=BC， AD=BD， CD= 12AB， AB2=4CECF；如图，过 D 作 DG BC 于 G，则 DGN= ECN=90， CG=DG，当 CE=4， CF=2 时，由 CD2=CECF 得CD=2，在 Rt DCG 中， CG=DG=CDsin DCG=2sin45=2， ECN= DGN， ENC= DNG， CEN GDN， CNEGD =2， GN=13CG= 2， DN=2GND= 2()3= 10考点：1几何变换综合题；2探究型；3和差倍分；4综合题
