1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定一、基础达标1下列说法中正确的个数是 ( )若直线 l 与平面 内一条直线垂直，则 l .若直线 l 与平面 内两条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内两条相交直线垂直，则 l；若直线 l 与平面 内任意一条直线垂直，则 l；若直线 l 与平面 内无数条直线垂直，则 l .A1 B2 C3 D4答案 B解析 对，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的正确的是，故选 B.2已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )A有且只有一个 B至多一个C
2、有一个或无数个 D不存在答案 B解析 若异面直线 m、n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在3(2014淮北高一检测 )线段 AB 的长等于它在平面 内的射影长的 2 倍，则AB 所在直线与平面 所成的角为 ( )A30 B45C60 D120答案 C解析 如图，AC ，ABB，则 BC 是 AB 在平面 内的射影，则 BC AB，所以ABC60，它是 AB12与平面 所成的角4空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是( )A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交答案 C解析 取 BD 中点 O，连接 AO，CO，则 BD AO， B
3、DCO，BD 面 AOC，BD AC ，又 BD、 AC 异面，选 C.5已知ABC 所在平面外一点 P 到ABC 三顶点的距离都相等，则点 P 在平面 ABC 内的射影是ABC 的_答案 外心解析 P 到ABC 三顶点的距离都相等，则点 P 在平面 ABC 内的射影到ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心6(2014舟山高一检测 )如图所示，PA 平面 ABC，ABC 中 BCAC ，则图中直角三角形的个数有_答案 4解析 Error!Error!BC平面 PACBCPC，直角三角形有PAB、 PAC、ABC 、PBC.7在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，求证：A 1C平面 BC1D
4、.证明 如图，连接 AC，所以 ACBD.又BD A 1A，ACAA 1A，AC，A 1A平面 A1AC，BD 平面 A1AC.A 1C平面 A1AC，BDA 1C.同理可证 BC1A 1C.又BD BC 1B，BD ，BC 1平面 BC1D，A 1C平面 BC1D.二、能力提升8(2014青岛高一检测 )如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2，AA 11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 ( )A. B.63 265C. D.155 105答案 D解析 如右图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，连接 A1C1、B 1D1，交于 O点，连接 OB，
5、由已知 A1B1C1D1 是正方形，A 1C1B 1D1.又BB 1平面 A1B1C1D1，OC 1平面 A1B1C1D1，OC 1BB 1.而 BB1B 1D1B 1，OC 1平面 BB1D1D.OB 是 BC1 在平面 BB1D1D 内的射影C 1BO 是 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角在正方形 A1B1C1D1 中，OC1 A1C1 .12 1222 22 2在矩形 BB1C1C 中，BC 1 .BC2 CC21 4 1 5sin C1BO .OC1BC1 25 1059在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 A1B1 的中点，则 AE 与平面 ABC1D1 所成角的正
6、弦值为_答案 105解析 如图，取 CD 的中点 F，连接 EF 交平面 ABC1D1于 O，连接 AO.由已知正方体易知 EO平面 ABC1D1，所以EAO 为AE 与平面 ABC1D1 所成的角，设正方体棱长为 1，在Rt EOA 中，EO EF A1D ，AE ，sin EAO .所以直线12 12 22 (12)2 12 52 EOAE 105AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为 .10510.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa(a0)，PA 平面 AC，且PA1，若 BC 边上存在点 Q，使得 PQQD，则 a 的取值范围是_答案 2 ，)解析 因为 PA平面
7、AC，QD平面 AC，所以 PAQD .又因为 PQQD，PA PQP，所以 QD平面 PAQ，所以 AQQD .当 02 时，以 AD 为直径的圆与 BC 相交于点 Q1，Q 2，此时AQ 1DAQ 2D90，故 BC 边上存在两点 Q(即 Q1 与 Q2)，使 PQQD.11.(2014南昌高一检测 )如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点试确定点 F 的位置，使得D1E平面 AB1F.解 连接 A1B，CD 1，则 A1BAB 1，A 1D1AB 1，又A1D1 A1BA 1，AB 1面 A1BCD1，又
8、 D1E面 A1BCD1，AB 1D 1E.于是 D1E平面 AB1FD 1EAF.连接 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影D 1E AFDEAF.ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点，当且仅当 F 是 CD 的中点时，DEAF，即当点 F 是 CD 的中点时，D 1E平面 AB1F.三、探究与创新12已知： AB ，PQ 于 Q，PO 于 O，OR 于 R，求证：QRAB .证明 如图， AB，PO 于 O，PO AB.PQ 于 Q，PQAB.PO PQ P，AB 平面 PQO.OR 于 R，PQOR.PQ 与 OR 确定平面 PQRO.即 AB平面 PQRO.又QR
9、 平面 PQRD，QR AB.13已知四面体 ABCD 的棱长都相等，Q 是 AD 的中点，求 CQ 与平面 DBC 所成的角的正弦值解 过点 A 作 AO平面 BCD，连接 OD，OB，OC，可知 O 是BCD 的中心作 QPOD，如图所示QP AO，QP 平面 BCD.连接 CP，则QCP 即为 CQ 与平面 DBC 所成的角设四面体的棱长为 a，在正ACD 中，Q 是 AD 的中点，CQ a.32QP AO， Q 是 AD 的中点，O 为BCD 的重心，QP AO12 12a2 (2332a)2 a a，12 63 66即 sin QCP .QPCQ 23CQ 与平面 DBC 所成角的正弦值为 .23
