1、2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础达标1如果直线 l，m 与平面 ， 满足：l ， l，m 和 m，那么必有 ( )A 且 lm B 且 mCm 且 lm D 且 答案 A解析 B 错，有可能 m 与 相交；C 错，有可能 m 与 相交；D 错，有可能 与 相交2(2014泸州高一检测 )从空间一点 P 向二面角 l 的两个面 ， 分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是 ( )A60 B120C60或 120 D不确定答案 C解析 若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120；若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60.3.如图，在立体图形
2、 DABC 中，若 ABCB，ADCD ，E 是 AC 的中点，则下列说法中正确的是 ( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDEC平面 ABD平面 BDCD平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE答案 B解析 由条件得 ACDE，ACBE，又 DEBE E，AC平面 BDE，又 AC面 ADC，AC面 ABC.平面 ABC平面BDE，平面 ADC平面 BDE，故选 B.4.如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角BPA C 的大小为 ( )A90 B60C45 D30答案 A解析 PA平面 ABC，BA ，
3、CA平面 ABC，BAPA，CAPA ，因此，BAC 即为二面角 BPA C 的平面角又BAC90，故选 A.5(2014长沙高一检测 )如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PAAC，则二面角 P BCA 的大小为( )A60 B30C45 D15答案 C解析 由条件得：PABC，ACBC 又 PAACC，BC平面 PAC，PCA 为二面角 PBCA 的平面角在 RtPAC 中，由 PAAC 得PCA 45，所以 C 对6(2014长沙高一检测 )已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且ABAC ，BC2，则二面角 DBCA 的大小为 _
4、3答案 90解析 如图由题意知ABACBDCD ，BCAD2.3取 BC 的中点 E，连接 DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA 为所求二面角的平面角易得 AEDE ，又 AD2，所以DEA 90.27.如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC90，PA平面 ABCD，ACBD E ，AD2，AB2 ，BC6.求证：平面3PBD平面 PAC.证明 PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，BD PA.又 tanABD ，ADAB 33tanBAC ，ABD30，BAC60，BCAB 3AEB 90，即 BDAC.又 PAACA ，BD 平面 PAC.BD 平面
5、PBD，平面 PBD平面 PAC.二、能力提升8在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、 BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 ( )ABC面 PDF BDF面 PAEC面 PDF面 ABC D面 PAE面 ABC答案 C解析 如图所示，BCDF，BC平面 PDF.A 正确由 BCPE，BCAE ，BC平面 PAE.DF 平面 PAE.B 正确平面 ABC平面 PAE(BC平面 PAE)D 正确9.如图所示，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面ABC，PA 2 AB，则下列结论正确的是 ( )APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直
6、线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45答案 D解析 PA平面 ABC，ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角六边形 ABCDEF 是正六边形，AD 2AB，即 tanADP 1，PAAD 2AB2AB直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45，选 D.10在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，把菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD ，则二面角 BACD 的余弦值为_32答案 60解析 如图所示，由二面角的定义知BOD 即为二面角的平面角DOOB BD ，BOD60.3211.如图所示，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BD CD.(1)求证：平面 ABD平面
7、 ACD；(2)若 AB2BD，求二面角 ADCB 的正弦值(1)证明 AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD，又 BDCD 且 BDAB B.CD平面 ABD.又 CD平面 ACD.平面 ABD 平面 ACD.(2)解 由(1)知ADB 为二面角 ADCB 的平面角在 RtABD 中，AB2BD，AD AB2 BD2BD，sinADB .即二面角 ADC B 的正弦值为 .5ABAD 25 5 25 5三、探究与创新12.(2014江门高一检测 )已知三棱锥 PABC 中，ACB90，BC4，AB20.D为 AB 的中点，且PDB 为等边三角形，PAPC .(1)求证：平面 PAC平面
8、 ABC；(2)求二面角 DAP C 的正弦值(1)证明 在 RtACB 中，D 是斜边 AB 的中点，所以 BDDA.因为PDB 是等边三角形，所以 BDDPBP ，则 BDDADP，因此APB 为直角三角形，即 PABP.又 PAPC，PCBP P，所以 PA平面 PCB.因为 BC平面 PCB，所以 PABC.又 ACBC，PAACA，所以 BC平面 PAC，因为 BC平面 ABC，所以平面 PAC平面 ABC.(2)解 由(1)知 PAPB 及已知 PAPC，故BPC 即为二面角 DAPC 的平面角由(1)知 BC 平面 PAC，则 BCPC.在 Rt BPC 中，BC4，BPBD10
9、，所以 sinBPC ，BCBP 410 25即二面角 DAP C 的正弦值为 .2513.如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD，PA .3(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABE P 的大小(1)证明 如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD.又 ABCD，所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD， BE平面 ABCD，所以 PABE.而 PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)解 由(1)知 BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA 是二面角 ABE P 的平面角在 Rt PAB 中，tan PBA ，PBA60，PAAB 3故二面角 ABE P 的大小是 60.
