1、选修 1-1 第二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是( )Ay 24x Bx 24yCy 2 4x 或 x24y Dy 24x 或 x24y答案 C解析 抛物线过点( 4,4) ，设其方程为：y 22px 或 x22py(p0)，将( 4,4)代入可得 p2，抛物线方程为y24x 或 x2 4y.2已知两定点 F1(5,0)，F 2(5,0) ，曲线上的点 P 到 F1，F 2 的距离之差的绝对值是6，则该曲线
2、的方程为( )A 1 B 1x29 y216 x216 y29C 1 D 1x225 y236 y225 x236答案 A解析 | PF1| PF2|60 ，方程 1 表示双曲线x2m 5 y2m2 m 6若方程 1 表示双曲线，则x2m 5 y2m2 m 6(m5)( m2m6)2，4m2 n2m 2n 2b0)，x2a2 y2b2由题意得，|AF 1| F1F2|2c2 4，1 3c2，|AF1|AF 2|2 ，|AF 2|2，2a|AF 1|AF 2|6，a3，e .ca 2310.过双曲线 C： 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 A 若x2a2 y2b2以 C
3、的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为( )A 1 B 1x24 y212 x27 y29C 1 D 1x28 y28 x212 y24答案 A解析 如图设双曲线的右焦点 F，右顶点 B，设渐近线 OA方程为 y x，ba由题意知，以 F 为圆心，4 为半径的圆过点 O，A，|FA| |FO|r4.ABx 轴，A 为 AB 与渐近线 y x 的交点，ba可求得 A 点坐标为 A(a，b) 在 RtABO 中，| OA|2 c |OF|4，OB2 AB2 a2 b2OAF 为等边三角形且边长为 4，B 为 OF 的中点，从而解得|OB|a2
4、，|AB |b2 ，3双曲线的方程为 1，故选 Ax24 y21211F 是抛物线 y22x 的焦点， P 是抛物线上任一点，A (3,1)是定点，则| PF|PA|的最小值是( )A2 B72C3 D12答案 B解析 如图，|PF|PA| PB|PA| ，显然当 A、B 、P 共线时，| PF|PA |取到最小值 3( ) .12 7212. 若椭圆 1(ab0)和圆 x2y 2( c) 2(c 为椭圆的半焦距 )有四个不同的交x2a2 y2b2 b2点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是( )A( ， ) B( ， )55 35 25 55C( ， ) D(0 ， )25 35 55答案 A
5、解析 要保证椭圆与圆有 4 个交点，只要保证 bb2a 2c 2,5c2a2， ，即 e2 ，故 e .由得 4(a2c 22ac)c2a215 15 55b2a 2c 2，即 3a28ac 5c 20.两边同除以 a2，得 5e2 8e30 ，即( e1)(5e3)0，解得 e1(舍去)或 e0，e .5 12三、解答题(本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 10 分)求下列双曲线的标准方程(1)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2)的双曲线；x216 y24 2(2)以椭圆 3x213y 239 的焦点为焦点，以直线 y 为渐近线的
6、双曲线x2解析 (1)双曲线 1 的焦点为(2 ，0) ，x216 y24 5设所求双曲线方程为： 1(20a 20)x2a2 y220 a2又点(3 ，2) 在双曲线上，2 1，解得 a212 或 30(舍去) ，18a2 420 a2所求双曲线方程为 1.x212 y28(2)椭圆 3x213y 239 可化为 1，x213 y23其焦点坐标为( ，0)，10所求双曲线的焦点为( ，0) ，10设双曲线方程为： 1(a0 ，b0)x2a2 y2b2双曲线的渐近线为 y x，12 ， ，a 28，b 22，ba 12 b2a2 c2 a2a2 10 a2a2 14即所求的双曲线方程为： 1.
7、x28 y2218(本题满分 12 分)方程 x2siny 2cos1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的取值范围分析 根据焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于 的关系式，再求 的取值范围解析 x 2siny 2cos1， 1.x21siny2 1cos又此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，Error!，即Error!，2k b0)的左焦点为 F(c,0)，x2a2 y2b2离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2y 2 截得的线段的长为33 b24c，| FM| .433(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程解析 (1)由已知有
8、 ，又由 a2b 2c 2，可得 a23c 2，b 22c 2.c2a2 13设直线 FM 的斜率为 k(k0)，则直线 FM 的方程为 yk(x c )，由已知，有( )kck2 12( )2( )2，解得 k .c2 b2 33(2)由(1)得椭圆方程为 1，直线 FM 的方程为 y (xc)，x23c2 y22c2 33两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5c 20，解得 x c，或 xc.因为点 M53在第一象限，可得 M 的坐标为 (c， c)由|FM| ，解得233 c c2 233c 02 433c1，所以椭圆的方程为 1.x23 y2221(本题满分 12 分)已知椭圆
9、 4x2y 21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解析 (1)由Error!得 5x22mxm 210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220(m 21)0，解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，由(1)知，5x 22mx m 210.由根与系数的关系，得 x1x 2 ，x 1x2 (m21) 2m5 15所以|AB| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x224m225 45m2 1 .2510 8m2所以当 m0 时，直线被椭
10、圆截得的弦最长，此时所求的直线方程为 yx.22(本题满分 12 分)(2015陕西文)如图，椭圆 E： 1( ab0)经过点 A(0，1)，x2a2 y2b2且离心率为 .22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q( 均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解析 (1)由题设知 ，b1，结合 a2b 2c 2，解得 a .ca 22 2所以椭圆的方程为 y 21.x22(2)由题设知，直线 PQ 的方程为 yk( x1) 1(k2)，代入 y 21，得x22(12k 2)x24k(k1)x 2k(k 2)0.由已知 0，设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，x 1x20，则 x1x 2 ，x 1x24kk 11 2k2 2kk 21 2k2从而直线 AP，AQ 的斜率之和kAPk AQ y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx22k(2 k)( )2k(2k)1x1 1x2 x1 x2x1x22k(2 k) 2k 2(k1)2.4kk 12kk 2所以直线 AP、AQ 斜率之和为定值 2.
