1、第二章 2.3 2.3.1 一、选择题1下列命题中，正确的有( )如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直过直线 l 外一点 P，有且仅有一个平面与 l 垂直如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内A2 个 B3 个 C4 个 D5 个答案 C解析 正确，中当这无数条直线都平行时，结论不成立2在正方体 ABCDA 1B1C1D1 的六个面中，与 AA1 垂直的面的个数是( )A1 B2 C3 D6答案 B解析 仅有平面 AC 和平面 A1
2、C1 与直线 AA1 垂直3直线 a 与平面 所成的角为 50，直线 ba，则直线 b 与平面 所成的角等于( )A40 B50 C90 D150答案 B解析 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知 b 与 所成的角也是 50.4(20132014江西新余一中高一月考)给出下列三个命题：一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 C解析 中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；中直
3、线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；根据射影定义知正确故选 C.5如图，如果 MC菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直答案 C解析 因为 ABCD 是菱形，所以 BDAC .又 MC平面 ABCD，则 BDMC.因为ACMCC，所以 BD平面 AMC，又 MA平面 AMC，所以 MABD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面，因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交6(09四川文)如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA 平面 ABC，PA2AB，则下列结论正确的是( )APBADB
4、平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45答案 D解析 设 AB 长为 1，由 PA2AB 得 PA2，又 ABCDEF 是正六边形，所以 AD 长也为 2，又 PA平面 ABC，所以 PAAD，所以PAD 为直角三角形PAAD ，PDA45，PD 与平面 ABC 所成的角为 45，故选 D.二、填空题7空间四边形 ABCD 的四条边相等，则对角线 AC 与 BD 的位置关系为_答案 垂直解析 取 AC 中点 E，连 BE、DE.由 ABBC 得 ACBE .同理 ACDE，所以 AC面 BED.因此，ACBD.8已知 PA 垂直于平行四边形
5、 ABCD 所在的平面，若 PCBD，则平行四边形 ABCD一定是_答案 菱形解析 由于 PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PABD .又 PCBD，且 PC平面 PAC，PA平面 PAC，PCPAP，所以 BD平面 PAC.又 AC平面 PAC，所以 BDAC .又四边形 ABCD 是平行四边形，所以四边形 ABCD 是菱形9(2013山东)已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为94的正三角形若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为_3答案 3分析 作出 PA 与平面 ABC 所成的角，再求解即可解析 设
6、三棱柱的高为 h，则 ( )2h ，解得 h .设三棱柱中底面 ABC 的34 3 94 3中心为 Q，则 PQ ，AQ 1.在 RtAPQ 中，PAQ 为直线 PA 与平面323 32 3ABC 所成的角，且 tanPAQ ，所以PAQ .33三、解答题10如图所示，已知 PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过点 A 作 AEPC 于点 E.求证：AE平面 PBC.分析 只要证 AE 垂直于平面 PBC 内两相交直线即可，已知 AEPC ，再证AE BC，则可证 AE 垂直于平面 PBC.证明 PA平面 ABC，PABC .又AB 是O 的直径，BCAC.而
7、 PAACA，BC平面 PAC.又AE平面 PAC，BC AE.又PCAE，且 PCBC C，AE平面 PBC.点评 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交直线；根据判定定理得出结论11S 为直角ABC 所在平面外一点，且 SASBSC.D 为斜边 AC 的中点，(1)求证：SD 平面 ABC；(2)若直角边 BABC，求证：BD平面 SAC.证明 (1)D 是 RtABC 斜边 AC 的中点Error!SD平面 ABC.Error!BD平面 SAC.12如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3 ，BC3
8、，沿对角线 BD 将BCD 折起，3使点 C 移到 C 点，且 C点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上(1)求证：BC平面 ACD；(2)求直线 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值解析 (1)证明：点 C在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上，CO平面 ABD，CODA.又DAAB，ABCOO ，DA平面 ABC，DA BC.又BCCD，BCCD .DACDD，BC平面 ACD.(2)如图所示，过 A 作 AECD ，垂足为 E.BC平面 ACD，BCAE.又BCCDC，AE平面 BCD.连接 BE，则 BE 是 AB 在平面 BCD 上的射影，故ABE 就是直线 AB 与平面 BCD 所成的角DAAB，DABC，DA平面 ABC，DA AC.在 Rt ACB 中，AC 3 .AB2 BC2 2在 Rt BCD 中，C DCD3 .3在 Rt CAD 中，由面积关系，得AE .AC ADC D 32333 6在 RtAEB 中，sinABE ，AEAB 633 23即直线 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 .23
