1、 余江一中 2016 届高三第二次模拟考试 数学试卷（理科） 命题人:陈清华 审题人：金俊颖 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间120 分钟 第I 卷 12 5 60 1.设 2 1 1 2 i i z ，则 z =（ ） A 3B1 C2 D 22. 5 16 log 4 log 25 （ ） A 2B 1C 1 2D 1 43给定函数 1 2 yx ， 1 2 log ( 1) yx ， | 1| yx ， 1 2 x y ，其中在区间 0,1 上单调递减的 函数序号是（ ） A B C D 4.函数 2 ( ) 2ln f x x x
2、 bx a ( 0, ) b a R 在点 , ( ) b f b 处的切线斜率的最小值是（） A 22B 2C 3D 15.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 30 xy 上，则 3 sin( ) 2cos( ) 2 sin( ) sin( ) 2 等于 （ ） A 3 2 B 3 2C 0D 2 36.下列四个命题中，正确的有（ ） 两个变量间的相关系数 r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低； 命题 p ：“ R 0 x ， 0 1 0 2 0 x x ”的否定 p ：“ R x ， 0 1 2 x x ”； 用相关指数 2 R 来刻画回归效果，若 2 R
3、越大，则说明模型的拟合效果越好；来源:学&科&网 若 2 3 . 0 a ， 3 . 0 2 b ， 2 log 3 . 0 c ，则 b a c A B C D 7定义在 R 上的函数 () fx 满足 ) ( ) 6 ( x f x f 当 ) 1 , 3 x 时， 2 ) 2 ( ) ( x x f ,当 ) 3 , 1 x 时， x x f ) ( ，则 (1) (2) (3) (2015) f f f f （ ） （A） 336（B） 355（C） 1676（D） 20158.在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为（ ） 函数 3 2 3 1 y x x 的图象关于点 0,1 成中
4、心对称； 对 , x y R 若 0 xy ，则 1, 1 xy 或 ； 若实数 , xy 满足 22 1, xy 则 2 y x 的最大值为 3 3 ； 若 ABC 为锐角三角形，则 sin cos . AB A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D.4 个 9.已知函数 22 2 2012 ( ) ln , ( ), 2013 2013 2013 ex e e e f x a b a b ex 若f( )+f( )+ +f( )=503 则 来源:学*科*网 的最小值为（ ） A6 B8 C9 D12 10已知函数 2 3 ( 0) () ( ) ( 0) x x x fx g x x 为
5、奇函数，则 ( ( 1) fg ( ) A.-28 B.-8 C.-4 D.4 11.将5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一 人的不同保送的方法数为（ ）种 A240 B180 C150 D540 12已知函数 fx 的定义域是 R ， fx 是 fx 的导数， 1fe ， g x f x f x ， 10 g ， gx 的导数恒大于零，函数 x h x f x e （ 2.71828 e 是自然对数的底数）的最小 值是（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 第II卷来源:学科网 二 填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
6、请 把答案填写在 答题卡相应位置上 13.已知圆C 的参数方程为 cos , ( 1 sin . x y 为参数），直线 l 的极坐标方程为 sin 1 ，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 14.若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 （用数字作答）。 15.如图，在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率 为 . 16.定义：如果函数 ) (x f y 在定义域内给定区间 b a， 上存在 ) ( 0 0 b x a x ，满足 a b a f b f x f ) ( ) ( ) ( 0 ，则称函数 ) (x f y 是 b a， 上
7、的“平均值函数”， 0 x 是它的一个均值点例如 y | x |是 2 2 ， 上的“平均值函数”，0 就是它的均值点给出以下命题： 函数 1 cos ) ( x x f 是 2 2 ， 上的“平均值函数” 若 ) (x f y 是 b a， 上的“平均值函数”，则它的均值点 x0 2 b a 若函数 1 ) ( 2 mx x x f 是 1 1 ， 上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 ) 2 0 ( ， m 若 x x f ln ) ( 是区间a，b （ba1）上的“平均值函 数”， 0 x 是它的一个均值点，则 ab x 1 ln 0 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 二、
8、解答题 ： 本大题 共 6 小题，共计 70 分 请在答题卡指定区域内 作答，解答 时 应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分）已知 a 是常数，对任意实数 x，不等式|x+1|2x|a|x+1|+|2x| 都成立 （）求a的值； （）设mn0，求证：2m+ 2n+a 18（本小题满分 12 分）函数 ( ) sin( ) f x A x ， xR （其中 0 A ， 0 ， 0 2 ）的图象 与 x 轴相邻两个交点之间的距离为 2 ，且图象上一个最低点为 2 ( , 2) 3 M （）求 () fx 的解析式； （）求 () fx 的单调递增区间； （）当 ,
9、 12 2 x 时，求 () fx 的值域 19. （本小题满分12 分） 2 , 0 , 2 1 , 2 3 , 1 sin 2 ) ( 2 x x x x f (1) 6 f(x) x (2) f(x) 2 1 , 2 3 20. （本小题满分12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目非你莫属，若甲应聘成功 的概率为 1 2 ，乙、丙应聘成功的概率均为 (0 2) 2 t t ，且三个人是否应聘成功是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求 t 的值； (2)记应聘成功的人数为 ，若当且仅当 为 2 时概率最大，求 () E 的取值范围. 21（
10、本小题满分 12分）已知函数 x x x f 3 3 lg ，其中 3 , 3 x（1）判别函数 x f 的奇偶性； （2）判断并证明函数 x f 在 3 , 3 上单调性； （3）是否存在这样的负实数 k ，使 0 cos cos 2 2 k f k f 对一切 R 恒成立， 若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由 22.（本小题满分 12 分）已知 ln f x mx x （ 0 xe ）， lnx gx x ，其中 e 是自然对数的底 数， R m （1）当 1 m 时，求函数 fx 的单调区间和极值； （2）求证：当 1 m 时， 1 1 f x g x e ； （3）是否存在
11、实数 m ，使 fx 的最小值是 2 ？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 : , , 2016 一1-5 D B C A B 6-10 C A C B A 11-12 C B 13. ) 1 , 1 ( 14. 31 15. 2 2 e16. 三 17.（）解：|x+1|2x|x+1+2x|=3， 3=|x+1+2x|x+1|+|2x|.4 分 对任意实数x，不等式|x+1|2x|a|x+1|+|2x|都成立， a=3； 5分 （）证明：2m+ 2n=（mn）+（mn）+ ，.7分 mn0， （mn）+（mn）+ 3 =3， 2m+ 2n3，9 分 即2m+ 2n+a10 分 18
12、.解析：（）两交点之间距离为 2 且图象上最低点 2 ( , 2) 3 M 2 A 2 2 ，2分 将点M代入 2sin(2 ) yx 解得 6 2sin(2 ) 6 yx .4分 （）函数 sin ( ) y x x R 的单调递增区间为 2 , 2 22 kk kZ 2 2 2 2 6 2 k x k 6分 解得36 k x k ，kZ () fx的单调递增区间为 , 36 kk ，kZ 8分 （） 12 2 x 7 2 3 6 6 x 9 分 即 1 2sin(2 ) 2 6 x 12 y ， () fx值域为 1, 2 12 分 19. (1) 当 6 时， 1 1 6 sin 2 )
13、 ( 2 2 x x x x x f = 4 5 ) 2 1 ( 2 x 2 分 2 1 , 2 3 x当 x= 2 1 时，f(x)取到最小值 4 5 当 x= 2 1 时，f(x)取到最大值 4 1 5 分 (2) 函数 1 sin 2 ) ( 2 x x x f 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x= sin 当 sin 2 3 ，即 sin 2 3 ，即 3 2 3 时，函数 f(x)在区间 2 1 , 2 3 上是增函数；7 分 当 2 3 sin 2 1 ，即 2 3 sin 2 1 ，即 0 3 或 3 2 6 7 或 6 11 2 时，f(x)在区间 sin , 2 3 上
14、为 减 函 数 ， 在 2 1 , sin 上 为 增 函 数； 9 分 当 sin 2 1 ，即 sin 2 1 ，即 6 7 6 11 时，函数 f(x)在区间 2 1 , 2 3 上是减函 数。11 分 综上：当 3 2 3 或 6 7 6 11 时，函数 f(x) 在 区 间 2 1 , 2 3 上 是 单 调 函 数。12分 20. 解析：（1）由题意得 1 2 (1 ) 2 2 2 tt ，解得 1 t 3分 （2） 的所有可能取值为 0,1, 2,3 4 分 2 1 (2 ) ( 0) (1 )(1 )(1 ) 2 2 2 8 t t t P 5 分 2 1 1 4 ( 1) (
15、1 ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 8 t t t t t P .6 分 2 1 1 4 ( 2) 2 (1 )+(1 ) 2 2 2 2 2 2 8 t t t t t t P .7 分 2 1 ( 3) 2 2 2 8 t t t P .8分 故分布列为 0123P2 (2 ) 8 t 2 4 8 t 2 4 8 tt 2 8 t1 2 Et 10分 由题意得： 1 ( 2) ( 1) 0 2 t PP ， 2 42 ( 2) ( 0) 0 4 tt PP ， 2 2 ( 2) ( 3) 0 4 tt PP ，又因为 02 t ，所以解得 t 的取值范围为 1
16、2 t 35 22 E 12分 21.解析（1） x f x x x x x f 3 3 lg 3 3 lg x f 是奇函数3 分 （2）任取 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 3 lg 3 3 lg , , 3 , 3 , x x x x x f x f x x x x 且 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 9 3 9 lg 3 3 3 3 lg x x x x x x x x x x x x 4 分 0 3 9 3 9 2 1 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x 5分 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 3 9 3 9
17、x f x f x f x f x x x x x x x x x f 是 3 , 3 上的减函数；.7 分 （3） 2 2 2 2 cos cos cos k f k f k f x f 是 3 , 3 上的减函数 22 22 2 2 2 2 0 3 cos 3 3 cos 3 cos cos cos cos cos cos k k R k kk k k R k k R 对 恒成立 由 对 恒成立得： 对 恒成立 .8 令 2 2 2 1 cos 4 1 cos cos y 1 2 4 1 , 2 1 , 1 cos 2 k k k y .9 分来源:学#科#网Z#X#X#K 同理：由 3
18、cos 3 k 恒成立 对 R 得： 2 2 k 10 分 由 3 cos 3 2 2 k 恒成立 对 R 得： 3 3 k .11 分 即综上所得： 1 3 k 所以存在这样的 k其范围为 1 3 k .12 分 22.解析：（1） f（x）=x-lnx， x x x x f 1 1 1 ) ( ， (0 ) xe 1分 由 ( ) 0 fx 得 1xe，由 0 ) ( x f 得 0x1 () fx的单调递减区间为 (0 1) ，单调递增区间为（1，e）；2 分 () fx的极小值为 (1) 1 f 3分 （2）由（1）知 () fx的极小值为 1，也就是 () fx在 0 ( e ，上的
19、最小值为 1， 令h（x）= 1 ( ) 1 gx e = ln 1 1 x xe ， 2 1 ln () x hx x ，4分 当0xe时， 0 ) ( x h ，所以 h（x）在 0 ( e ，上单调递增， h（x）max= h（e）= 11 11 ee max ( ) ( ) 1 h x h e 与 min ( ) (1) 1 f x f 不同时取到， ( ) ( ) f x h x 即 1 ( ) ( ) 1 f x g x e 7 分 （3）假设存在实数 m，使 f（x）=mx-lnx（x 0 ( e ，）有最小值 2， 11 () mx f x m xx 8 分 当m0 时，f（x）在 0 ( e ，上单调递减， min=f（e）=me-1=2，解得m= 3 0 e ，舍去.9 分 当0 1 me 时，因为 f（x）在（0， 1 m）上单调递减，在 1( e m ， 上单调递增， 所以 min=f（ 1 m）=1+lnm=2，解得 m=e，满足条件10 分 当 1 me 时，因为 f（x）在 0 ( e ，上单调递减， 所以 min=f（e）=me-1=2，解得 m= 3 e，不满足 1 me，舍去11 分 综上，存在实数m=e，使得当 x 0 ( e ，时 f（x）有最小值 2.12 分
