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【成才之路】高中数学(人教a版)必修二练习:综合检测题4.doc

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1、第四章综合素能检测时间 120 分钟,满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1圆 x2y 2x y 0 的半径是( )32A1 B 2C2 D2 2答案 B解析 (x )2( y )22,r ,故选 B12 12 22圆 O1:x 2y 22x0 与圆 O2:x 2y 24y0 的位置关系是( )A外离 B相交C外切 D内切答案 B解析 圆 O1(1,0),r 11,圆 O2(0,2),r22, |O1O2| 12,且 2 1,故两圆相交1 02 0 22 5 53圆 x22xy 24y30 上到直

2、线 xy10 的距离为 的点共有( )2A4 个 B3 个C2 个 D1 个答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x1) 2( y2) 2(2 )2,圆心(1,2)到直线2xy10 的距离 d ,则到直线 xy10 的距离为 的两条平行线与| 1 2 1|2 2 2圆的公共点的个数即为所求由于圆的半径为 2 ,所以到直线 xy10 的距离为 的2 2平行线一条过圆心,另一条与圆相切,故这两条直线与圆有 3 个交点4设直线过点(a,0),其斜率为1,且与圆 x2y 22 相切,则 a 的值为( )A B22C2 D42答案 B解析 切线的方程是 y (xa),即 xya0, ,a2.|a|2

3、25已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且| AB|2 ,则实数 x 的值是( )6A3 或 4 B6 或 2C3 或4 D6 或2答案 D解析 由空间两点间的距离公式得 2 ,解得 x6 或 x2.x 22 1 32 2 42 66当 a 为任意实数时,直线(a1) xy a10 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 为5半径的圆的方程为( )Ax 2y 22x4y 0 Bx 2y 22x4y0Cx 2 y22x4y 0 Dx 2y 22x4y0答案 C解析 由(a1)x ya10 得 a(x1) (xy1)0,所以直线恒过定点(1,2),所以圆的方程为(x1) 2(y 2) 25,

4、即 x2y 22x 4y0.7直线 l1:y xa 和 l2:yxb 将单位圆 C:x 2y 21 分成长度相等的四段弧,则 a2b 2( )A B22C1 D3答案 B解析 依题意,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的 ,即14 , 1 cos45 ,所以 a2b 21,故 a2b 22.|a|2 |b|2 |a|2 228(2015山东威海模拟)若直线 ykx1 与圆 x2y 21 相交于 P,Q 两点,且POQ120(其中 O 为原点),则 k 的值为( )A 或 B3 3 3C 或 D2 2 2答案 A解析 方法 1:|PQ|21sin60 ,圆心到直线的距离

5、d ,31 322 12 ,解得 k .1k2 1 12 3方法 2:利用数形结合如图所示,直线 ykx1 过定点 (0,1),而点(0,1)在圆 x2y 21 上,故不妨设 P(0,1),在等腰三角形 POQ 中,POQ 120,QPO 30,故PAO60 ,k ,即直线 PA 的斜率为 .同理可求得直线 PB 的3 3斜率为 .39(2013重庆)设 P 是圆( x3) 2(y 1) 24 上的动点,Q 是直线 x3 上的动点,则|PQ|的最小值为( )A6 B4C3 D2答案 B解析 |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3 ,1),半径为 2,所以| PQ|的最小

6、值 d 3( 3) 24.10(2015全国卷)已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC 外接圆的圆心3 3到原点的距离为( )A B53 213C D253 43答案 B解析 ABC 外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 x1 上,设圆心 D(1,b),由 DA DB 得 |b| b ,所以圆心到原点的距离 d .故1 b 32223 12 2232 213选 B11(2013山东)过点(3,1)作圆(x 1) 2y 21 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( )A2xy30 B2x y30C4x y30 D4xy30答案 A解析 根据平面几何知

7、识,直线 AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为 ,故直线 AB 的斜率一定是2,只有选项 A 中直线的斜率为2.1212若圆 C:x 2y 24x4y100 上至少有三个不同的点到直线 l:xyc0 的距离为 2 ,则 c 的取值范围是 ( )2A2 ,2 B(2 ,2 )2 2 2 2C2,2 D( 2,2)答案 C解析 圆 C:x 2y 24x 4 y100 整理为( x2) 2(y2) 2(3 )2,圆心坐标为2C(2,2),半径长为 3 ,要使圆上至少有三个不同的点到直线 l:xyc0 的距离为23 ,如右图可知圆心到直线 l 的距离应小于等于 ,d ,解

8、得2 2|2 2 c|1 1 |c|2 2|c|2,即2c 2.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知点 A(1,2,3),B(2,1,4) ,点 P 在 y 轴上,且| PA| PB|,则点 P 的坐标是_ _.答案 76解析 设点 P(0,b,0),则1 02 2 b2 3 02,解得 b .2 02 1 b2 4 027614已知圆 C1:x 2y 26x70 与圆 C2:x 2y 26y270 相交于 A、B 两点,则线段 AB 的中垂线方程为_ _.答案 xy 30解析 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C1.又

9、 C1(3,0),C 2(0,3),所以 C1C2所在直线的方程为 xy 3 0.15过点 A(1, )的直线 l 将圆(x2) 2y 24 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小2时,直线 l 的斜率 k_ _.答案 22解析 点 A(1, )在圆(x2) 2y 24 内,当劣弧所对的圆心角最小时, l 垂直于过2点 A(1, )和圆心 M(2,0)的直线2k .1kAM 2 10 2 2216(2015江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_ _.答案 (x1) 2y 22.解析 由题意得:半径等于 ,所

10、以所求圆为|m 1|m2 1 m 12m2 1 1 2mm2 1 2(x1) 2y 22.三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)求经过两点 A(1,4),B(3,2) 且圆心 C 在 y 轴上的圆的方程解析 AB 的中点是(1,3),k AB ,4 2 1 3 12AB 的垂直平分线方程为 y32(x1),即 2xy10.令 x0,得 y1,即圆心 C(0,1)所求圆的半径为|AC| .12 4 12 10所求圆的方程为 x2( y1) 210.18(本小题满分 12 分)(2015宁波高一检测)如图,正方体 ABC

11、DA 1B1C1D1 的棱长为a,M 为 BD1 的中点,N 在 A1C1 上,且|A 1N|3| NC1|,试求 MN 的长解析 以 D 为原点建立如图所示坐标系,则 B(a,a,0) , A1(a,0,a),C 1(0,a,a) ,D 1(0,0,a)由于 M 为 BD1 的中点,所以 M( , ),取 A1C1 中点 O1,则 O1( ,a),a2a2 a2 a2a2因为|A 1N|3|NC 1|,所以 N 为 O1C1 的中点,故 N( , a,a)a4 34由两点间的距离公式可得:|MN|a2 a42 a2 34a2 a2 a2 a.64规律总结:空间中的距离可以通过建立空间直角坐标

12、系通过距离公式求解19(本小题满分 12 分)已知过点 A(1,0)的动直线 l 与圆 C:x 2(y3) 24 相交于P,Q 两点,M 是 PQ 的中点,l 与直线 m:x3y60 相交于 N.(1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C;(2)当|PQ|2 时,求直线 l 的方程3解析 (1)证明:因为 l 与 m 垂直,且 km ,所以 kl3,故直线 l 的方程为13y3(x 1),即 3xy30.因为圆心坐标为(0,3)满足直线 l 方程,所以当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C(2)解:当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x1 符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时,设

13、直线 l 的方程为 yk(x1) ,即 kxy k0,因为|PQ|2 ,3所以|CM | 1,4 3则由|CM | 1,得 k ,| k 3|k2 1 43所以直线 l:4x 3y40.故直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40.20(本小题满分 12 分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东 300 km 处,以40 km/h 的速度向北偏西 60方向移动据测定,距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将受玻台风影响,请你推算该市受台风影响的持续时间解析 以该市所在位置 A 为原点,正东方向为 x 轴的正方向,正北方向为 y 轴的正方向建立直角坐标系开始时台风中心在 B(300,0)

14、处,台风中心沿倾斜角为 150方向直线移动,其轨迹方程为 y (x300)( x300) 该市受台风影响时,台风中心在圆33x2y 2250 2 内,设直线与圆交于 C,D 两点,则| CA|AD |250,所以台风中心到达 C 时,开始受影响该市,中心移至点 D 时,影响结束,作 AH CD 于点 H,则|AH| 150,|CD|2 400,t 10(h)即台风对该市的影响持100313 1 |AC|2 |AH|2 4004续时间为 10 小时21(本小题满分 12 分)(2011新课标全国改编)已知点(0,1),(32 ,0),(32 ,0)在圆 C 上2 2(1)求圆 C 的方程;(2)

15、若圆 C 与直线 xy a0 交于 A,B 两点,且 OAOB,求 a 的值解析 (1)由题意可设圆 C 的圆心为 (3,t),则有 32(t1) 2(2 )2t 2,解得 t1.2则圆 C 的圆心为(3,1),半径长为 3.3 02 1 12所以圆 C 的方程为(x3) 2( y1) 29.(2)由Error!消去 y,得 2x2(2 a8)x a 22a10,此时判别式 5616a4a 2.设 A(x1,y 1),B (x2,y 2),则有Error! 由于 OAOB ,可得 x1x2y 1y20,又 y1x 1a,y 2x 2a,所以 2x1x2a(x 1x 2)a 20 由得 a1,满

16、足 0,故 a1.22(本小题满分 12 分)(2013江苏)如下图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y2x4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使 MA2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围分析 (1)由已知设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径列式求解;(2)利用|MA | 2|MO|求出点 M 的轨迹方程,再写出圆 C 的方程,由这两个方程有公共点列不等式求解解析 (1)由题设,圆心 C 是直线 y2x 4 和 yx1 的交点,解得点

17、 C(3,2),于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3,由题意,得 1,解得 k0 或 k ,|3k 1|k2 1 34故所求切线方程为 y3 或 3x4y 120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上,所以圆 C 的方程为( x a)2y2( a2) 21.设点 M(x,y),因为 MA2MO,所以 2 ,化简得 x2y 22y3 x2 y 32 x2 y20,即 x2(y1) 24,所以点 M 在以 D(0,1) 为圆心,2 为半径的圆上由题意,点 M(x,y )在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2 1|CD21,即 1 3.a2 2a 32由 5a212a80,得 aR ;由 5a212a0,得 0a ,125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0, 125

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