1、专题五 猜想、探究与证明,规律与策略)猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型，由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以往往作为中考试卷中的压轴题出现，主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识纵观贵阳5年中考，只有2013年考查了猜想、探究问题，设置在第24题，以解答题的形式出现，分值为12分,中考重难点突破)1(德州中考)(1)问题：如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPCAB90，求证：ADBCAPBP；(2)探究：如图，在四边形ABCD中，点P 为AB上一点，当DPCAB时，上述结论是
2、否依然成立？说明理由；(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图，在ABD中，AB6，ADBD5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B 运动，且满足DPCA，设点P的运动时间为t(s)，当以 D为圆心，以DC 为半径的圆与AB相切时，求t的值【解析】(1)如图，由DPC A B90可得ADPBPC ，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)如图，由DPC AB可得ADPBPC ，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； (3)如图 ，过点D作DEAB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE BE3，根据勾股定理可得DE4
3、，由题意可得 DCDE 4，则有BC 541.易证DPCAB.根据ADBC APBP，就可求出 t的值【答案】解：(1)如图，DPC A B90，ADP APD90， BPCAPD 90，ADP BPC，ADPBPC， ， ADBCAPBP；ADBP APBC(2)结论ADBCAPBP仍然成立理由：如图，BPD DPCBPC，BPDAADP，DPCBPCA ADP.DPC AB，BPCADP，ADPBPC， ， ADBCAPBP；ADBP APBC(3)如答图，过点D作DEAB于点E.ADBD5，AB6，AEBE3.由勾股定理可得DE4.以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，DCDE4，BC
4、541.又ADBD，AB，DPC A B.由(1)、(2)的经验可知ADBCAPBP，51t(6t)，解得：t 11，t 25，t的值为1 s或5 s.2【问题探究】(1)如图，锐角ABC 中分别以 AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE AB，AD AC，BAE CAD，连接BD，CE， 试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；【深入探究】(2)如图，四边形ABCD 中， AB7 cm，BC3 cm， ABCACD ADC45，求BD的长；(3)如图，在(2) 的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长【解析】(1)首先根据等式的性质证明EACBAD，则根据SAS即可证明E
5、ACBAD，根据全等三角形的性质即可证明BDCE； (2)在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AE AB，连接EA ，EB，EC，证明 EACBAD，证明BDCE，然后在直角三角形BCE 中利用勾股定理即可求解；(3)在线段 AC的右侧过点A作AE AB于点A，交BC的延长线于点E，证明EACBAD，证明BDCE，即可求解【答案】解：(1)BDCE.理由如下：BAECAD，来源:gkstk.ComBAEBACCAD BAC，即EACBAD.在EAC和BAD中， AE AB， EAC BAD，AC AD， )EACBAD，BDCE；(2)如答图，在ABC 的外部 ，以A
6、 为直角顶点作等腰直角 BAE，使BAE90，AEAB，连接EA，EB，EC.ACDADC45，来源:学优高考网gkstkACAD，CAD90，BAEBACCAD BAC，即EACBAD.在EAC和BAD中， AE AB， EAC BAD，AC AD， )EACBAD，BDCE.AE AB7 cm，BE 7 cm，ABEAEB45，72 72 2又ABC45，ABCABE454590，EC cm，BE2 BC2 （72）2 32 107BDCE cm；107(3)如答图，在线段AC 的右侧过点 A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE.AEAB，BAE90 ，又ABC45，EABC4
7、5，AEAB7 cm ，BE 7 cm.72 72 2又ACDADC45，BAEDAC90，BAEBACDAC BAC，即EACBAD.在EAC和BAD中， AE AB， EAC BAD，AC AD， )EACBAD，BDCE，BC3 cm，来源:学优高考网gkstkBDCE(7 3)cm.23(龙东中考)已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点 (点P不与点A，C 重合) ，分别过点A，C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O 为AC 的中点(1)当点P与点O重合时如图，求证：OEOF ；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转 ，当OFE30时，如图、图的位置，猜想线段
8、CF ，AE，OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情况给予证明【解析】(1)由AOECOF即可得出结论；(2)图中的结论为：CF OE AE，延长EO交CF于点G，只要证明EOA GOC，OFG 是等边三角形，即可解决问题 ，图中的结论为：CF OE AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似【答案】解：(1)AEPB， CFBP，AEO CFO90，在AEO 和CFO中， AEO CFO， AOE COF，AO OC， )AOE COF，OEOF；(2)图中的结论为：CFOEAE.图中的结论为：CFOE AE.选图中的结论证明如下：延长EO交CF于点G.AEB
9、P ，CFBP，AECF ，EAOGCO.在EOA 和GOC中， EAO GCO，AO OC， AOE COG， )EOA GOC，EOGO，AE CG.在Rt EFG中，EOOG，OEOFGO.OFE30，OFG 903060，OFG 是等边三角形 ，OFGF.OEOF ，OEFG.CF FGCG，CFOEAE.选图的结论证明方法同图.,针对训练)1.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的 ，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯
10、形ABCD的中位线通过观察、测量，猜想EF和AD，BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论解：结论为：EFADBC ，EF (ADBC) 理由如下：12连接AF并延长交BC于点G.ADBC， DAFG，在ADF 和GCF中， DAF G， DFA CFG，DF FC， )ADF GCF，AFFG，ADCG.又AEEB，EFBG，EF BG，12即EFADBC ，EF (ADBC) 122如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点的坐标是(0，0) ，B 点的坐标是(3 ，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在 BC边上的点G 处，点E ，F分别在AD和AB上，且F点的
11、坐标是(2，4) (1)求G点坐标；(2)求直线EF 的表达式；(3)点N在x轴上 ，直线EF 上是否存在点 M，使以M ，N ，F，G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得，FG AF2，FB 1.四边形ABCD为矩形，B90，BG ，FG2 FB2 22 12 3点G的坐标为(3，4 )；3(2)设直线EF 的表达式是ykxb(k0) 在Rt BFG 中，cos BFG ，FBFG 12BFG 60 ，AFEEFG 60，来源:学优高考网来源:学优高考网gkstkAEAF tanAFE2tan60 2 ，3E点的坐标为(0，42 )3
12、又F点的坐标是(2，4)， 解得b 4 23，2k b 4， ) k 3，b 4 23， )直线EF的表达式为y x42 ；3 3(3)存在：M1(3 ， )，M 2(1 ， )，433 3 433 3M3(1 ，8 )433 33(2017襄阳中考)如图，在ABC中，ACB90，CD是中线，ACBC，一个以点D为顶点的45角绕点D旋转，使角的两边分别与 AC，BC 的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC 交于点N.(1)如图，若CE CF ，求证： DEDF；(2)如图，在EDF 绕点D旋转的过程中：探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；若CE4，
13、CF2，求DN的长图 图解：(1)ACB90，ACBC ，ADBD，BCDACD45，BCE ACF 90，DCEDCF135.又CECF ， CDCD，DCEDCF，DE DF；(2)DCFDCE135，CDFF18013545.又CDF CDE45，F CDE.CDF CED. ，即CD 2CECF.CDCE CFCDACB90，AC BC，ADBD，CD AB，AB 24CECF；12如答图，过点D作DGBC于点G ，则DGNECN90，CGDG.当CE4，CF 2时，由CD 2CECF，得CD2 .2在Rt DCG中，CGDGCD sinDCG2 sin452.2ECNDGN，ENCDNG，CENGDN. 2，CNGN CEDGGN CG .13 23DN .GN2 DG2（23）2 22 2103
