1、第二章 3.4 第 1 课时基 础 巩 固一、选择题1(2016甘肃天水一中期中) 若 2x2 y1，则 xy 的取值范围是 ( D )导 学 号 54742829A0,2 B2,0C2，) D( ， 2解析 2 x0,2y0，2 x2 y2 2 (当且仅当 2x2 y 时，等号成立) ，2x2y 2x y ，2 xy ， xy2.2x y12 142已知 x0，y 0,2x3y 6 ，则 xy 的最大值为 ( C )导 学 号 54742830A B312C D132解析 x0，y 0,2x3y6，xy (2x3y) ( )216 16 2x 3y2 ( )2 ，16 62 32当且仅当 2
2、x3y ，即 x ，y1 时，xy 取到最大值 .32 32故选 C3下列函数中，最小值为 2 的是 ( C )导 学 号 54742831Ay x2 21x2 2By lgx (11 显然不成立，x2 21x2 2A 不正确；lgx 2，当且仅当 lgx ，1lgx 1lgx即 x10 或 时，等号成立，而 10，y 0，x 、a、b、y 成等差数列，x、c、d、y 成等比数列，则 的最a b2cd小值是 ( D )导 学 号 54742833A0 B1C2 D4解析 由等差、等比数列的性质得 22 24.当且仅当 xy 时取等号，所求最小值为 4.a b2cd x y2xy xy yx y
3、xxy6设 a、bR，且 ab0.则下列不等式中，恒成立的是 ( D )导 学 号 54742834Aa 2b 22ab Bab2 abC D 21a 1b 2ab ba ab解析 ab 时，A 不成立；a、b1，则函数 y 的最小值是 9.x 5x 2x 1导 学 号 54742836解析 因为 x1，所以 x10. 设 x1t0，则 xt1，把 xt1 代入函数关系式，得 y t 5 52 9.当且仅当 t2，即 x1 时，t 4t 1t t2 5t 4t 4t t4t等号成立，所以当 x1 时，函数 y 有最小值 9.三、解答题9已知 x0，y 0.导 学 号 54742837(1)若
4、2x5y20，求 ulgxlgy 的最大值；(2)若 lgxlgy2，求 5x2y 的最小值解析 (1)x0，y 0，由基本不等式，得 2x5y 2 2 .2x5y 10 xy又2x5y20，202 ，10 xy ，xy10，xy 10当且仅当 2x5y 时，等号成立由Error!，解得Error!.当 x5，y2 时，xy 有最大值 10.这样 ulgxlgy lg(xy)lg10 1.当 x5，y2 时，u max1.(2)由已知，得 xy100，5x2y2 2 20 .10xy 103 10当且仅当 5x2y ，即当 x2 ，103 10y5 时，等号成立10所以 5x2y 的最小值为
5、20 .1010已知直角三角形两条直角边的和等于 10 cm，求面积最大时斜边的长.导 学 号 54742838解析 设一条直角边长为 x cm，(02ab，ab2 ，aa 2，bb 2，ababa 2b 2，故选 D解法二：取 a ，b ，则 a2b 2 ，2 ，2ab ，ab ，显然 最大12 13 1336 ab 63 13 56 5612某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则 ( B )导 学 号 54742840Ax Bx a b2 a b2Cx Dxa b2 a b2解析 这两年的平均增长率为 xA(1x) 2A(1 a)
6、(1b)，(1x )2(1a)(1b)，由题设 a0，b0.1x 1 a1 b1 a 1 b21 ，x ，a b2 a b2等号在 1a1b 即 ab 时成立选 B13已知向量 a(x1,2)，b (4，y)(x、y 为正数) ，若 ab，则 xy 的最大值是( A )导 学 号 54742841A B12 12C1 D1解析 由已知得 4(x1)2 y0，即 2xy2.xyx(2 2x) ( )2 ，等号成立时 2x22x，即2x2 2x2 12 2x 2 2x2 12x ，y1，xy 的最大值为 .12 12二、填空题14已知 2(x0 ，y0)，则 xy 的最小值是 6.2x 3y 导
7、学 号 54742842解析 2 ，2 2，xy6.2x 3y 6xy 6xy15已知 x ，则函数 y4x 2 的最大值是 1.54 14x 5 导 学 号 54742843解析 x ，4x 50，y4x254 14x 54x5 3314x 5 5 4x 15 4x321，等号在 54x ，即 x 1 时成立15 4x三、解答题16已知：a0，b0 ，ab1，求( a )2( b )2 的最小值.1a 1b 导 学 号 54742844解析 (a )2(b )21a 1ba 2b 2 4(a 2 b2)(1 )41a2 1b2 1a2b2(12ab)(1 )4，1a2b2a0，b0，ab1，
8、ab( )2 ，a b2 1412ab1 ，且 16,1 17.12 12 1a2b2 1a2b2原式 174 (当且仅当 ab 时，等号成立)，(a )2( b )2 的最小12 252 12 1a 1b值是 .252易错分析 本题常犯错误是两次利用基本不等式，条件不能同时成立警示 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件解题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查等号是否能同时成立17某商场预计全年分批购入每台 2 000 元的电视机共 3 600 台每批都购入 x 台(x 是自然数) 且每批均需付运费 400 元贮存购入的
9、电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比若每批购入 400 台，则全年需用去运输和保管总费用 43 600 元现在全年只有 24 000 元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 导 学 号 54742845解析 设总费用为 y 元(y 0)，且将题中正比例函数的比例系数设为 k，则y 400k (2 000x)，依条件，当 x400 时，y43 600，可得 k5% ，3 600x故有 y 100x1 440 000x2 24 000(元) 1 440 000x 100x当且仅当 100x，即 x120 时取等号1 440 000x所以只需每批购入 120 台，可使资金够用
