1、第一章 章末整合提升基 础 巩 固一、选择题1(2016北京丰台区二模)已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，b， c ，B ，那么 a 等于 ( C )7 36 导 学 号 54742172A1 B2 C4 D1 或 4解析 在ABC 中，b ，c ，cosB ，由余弦定理有7 332b2a 2c 22accosB，即 7a 233a，解得 a4 或 a1(舍去)故 a 的值为 4.2在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，若a2b 2 bc， sinC2 sinB，则 A ( A )3 3 导 学 号 54742173A30 B60 C120 D
2、150解析 由余弦定理得：cos A ，由题知 b2a 2 bc，c 22 bc，则b2 c2 a22bc 3 3cosA ，32又 A(0，180)，A30，故选 A3三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么这个三角形的此两边长35分别是 ( D )导 学 号 54742174A3 和 5 B4 和 6 C6 和 8 D5 和 7解析 设夹角为 A，cosA ，sinA ，35 45S bcsinA14 ，bc35，又 bc2，b7，c5.124设ABC 的内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为 ( B
3、)导 学 号 54742175A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析 由正弦定理，得 sinBcosCsinCcosBsin 2A，所以 sin(BC)sin 2A，sinAsin 2A，而 sinA0，sinA1，A ，所以ABC 是直角三角形25如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50m，ACB 45，CAB 105 后，就可以计算 A、B 两点的距离为( A )导 学 号 54742176A50 m B50 m2 3C25 m D m22522解析 由题意知ABC 30，由正弦定理得， ，ACsinABC A
4、BsinACBAB 50 (m)ACsinACBsinABC502212 26(2015合肥市质检)已知 ABC 的三边长分别为 a，b， c，且满足 bc3a，则 的ca取值范围为 ( B )导 学 号 54742177A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)解析 依题意得 c0) asinA bsinB csinC则 aksin A，b ksinB，c ksinC 代入 中，有 ，变形可得cosAa cosBb sinCc cosAksinA cosBksinB sinCksinCsinAsinBsin AcosBcos AsinBsin(AB )在ABC 中，由 AB C ，有
5、 sin(AB)sin( C )sin C，所以sinAsinBsin C(2)由已知，b 2c 2a 2 bc，根据余弦定理，有65cosA .所以 sinA .b2 c2 a22bc 35 1 cos2A 45由(1)，sin AsinBsinAcos BcosAsinB，所以 sinB cosB sinB，故 tanB 4.45 45 35 sinBcosB能 力 提 升一、选择题11在ABC 中，AC ，BC 2，B60，则 BC 边上的高等于 ( 7 导 学 号 54742182B )A B32 332C D3 62 3 394解析 设 ABc ，BC 边上的高为 h.由余弦定理，得
6、 AC2c 2BC 22BC ccos60，即 7c 242c，即c22c30，c 3( 负值舍去 )又 hcsin603 ，故选 B32 33212在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，且 a，b (0)，A45，3则满足此条件的三角形个数是 ( A )导 学 号 54742183A0 B1C2 D无数个解析 直接根据正弦定理可得 ，可得 sinB 1，没asinA bsinB bsinAa 3sin45 62有意义，故满足条件的三角形的个数为 0.13一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40n mile 的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C
7、 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是 ( A )导 学 号 54742184A10 n mile B10 n mile2 3C20 n mile D20 n mile3 2解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20n mile，CAB 30 ，ACB 45 ，根据正弦定理得 ，解得 BC10 (n mile)BCsin30 ABsin45 2二、填空题14(2015天津十二区县联考) 已知ABC 中，AB1，sinAsinB sinC，S ABC 2sinC，则 cosC .316 13导 学 号
8、54742185解析 设ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，因为 sinAsinB sinC，2则由正弦定理得 ab c ，又因为 SABC absinC sinC，所以 ab ，故2 212 316 38cosC .a2 b2 c22ab a b2 2ab 12ab 1315已知平面内四点 O、A、 B、C 满足 0， 1，则 ABC 的面积为 .OA OB OC OA OB OB OC OC OA 332导 学 号 54742186解析 由 0 知 O 为ABC 的重心，OA OB OC 又由 得OA OB OB OC ( ) 0，OB OA OC OB CA 所以 ，同
9、理 ， ，OB CA OA BC OC AB 所以 O 为ABC 的垂心故ABC 为正三角形即 | | |cos1201，OC OA OC OA | | |2.OC OA S AOC | | |sin120 ，S ABC .12OC OA 32 332三、解答题16(2015武汉市调研)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足bcos2Aa(2 sinAsinB)，c ，cos B .7277 导 学 号 54742187(1)求 sinA；(2)求 a，b 的值解析 (1)在ABC 中，由正弦定理及 bcos2Aa(2sinAsinB)知sinBcos2AsinA
10、(2sinAsinB )，sinBcos 2A sinBsin2A2sinA，sin 2Acos 2A1，sinB2sinA，又cosB ，sinB .27 1 272 217sinA sinB .12 2114(2)由(1)可知 b2a，由余弦定理 b2a 2c 22accosB 及 b2a，c 得(2a) 2a 272a cosB7 7而 cosB ，3a 24a70，27即(3a7)(a1)0，a1，b2.17如右图所示，甲船以每小时 30 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向2匀速直线航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1 处，此时两船相距
11、 20n mile.当甲船航行 20min 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 n mile，问乙船每小时航行多少 n mile？2 导 学 号 54742188解析 解法一：如图，连结 A1B2，由题意知 A2B210 n mile，A 1A230 10 n mile.2 22060 2所以 A1A2A 2B2.又A 1A2B218012060，所以A 1A2B2 是等边三角形所以 A1B2A 1A210 n mile.2由题意知，A 1B120n mile ， B 1A1B21056045 ，在A 1B2B1 中，由余弦定理，得 B1B A
12、 1B A 1B 2A 1B1A1B2cos4520 2(10 )2 21 2 2222010 200.222所以 B1B210 n mile.2因此，乙船速度的大小为 6030 (n mile/h)10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2解法二：如下图所示，连结 A2B1，由题意知 A1B120n mile ，A 1A230 2206010 n mile，B 1A1A2105，2又 cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60 ，21 34sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60 ，21 34在A 2A1B1 中， 由余
13、弦定理，得 A2B A 1B A 1A 2A 1B1A1A2cos10520 2(10 )21 21 2 2222010 100(42 )，221 34 3所以 A2B110(1 )n mile3由正弦定理，得 sinA 1A2B1 sinB 1A1A2 ，A1B1A2B1 20101 3 21 34 22所以A 1A2B1 45，即B 1A2B26045 15，cos15sin105 .21 34在B 1A2B2 中，由题知 A2B210 n mile，2由余弦定理，得 B1B A 2B A 2B 2A 2B1A2B2cos15 102(1 )2(10 )2 21 2 3 22210(1 )10 200，3 221 34所以 B1B210 n mile，故乙船速度的大小为 6030 (n mile/h)210220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2
