1、第一章综合测试题本试卷分第卷(选择题)和第卷( 非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016全国卷文，2)已知集合 A1,2,3 ，B x|x20，( )2 1，x12 34因此函数 f(x)的值域为(1，) 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知集合 Ax|2x 8 ，Bx|1 x6 ，C x|xa，UR. 导 学 号 22840484(1)求
2、A B，( UA)B；(2)若 A C，求 a 的取值范围解析 (1)ABx|2x 8x|1x6x|1x8 UA x|x2 或 x8 ，( UA)B x |1x 2(2)A C，作图易知，只要 a 在 8 的左边即可，a8.18(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) .2x 1x 1导 学 号 22840485(1)判断函数 f(x)在区间1 ，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间1,4 上的最大值与最小值解析 (1)函数 f(x)在1，) 上是增函数证明：任取 x1，x 21，)，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2) .2x1 1x1 1 2x2 1x2 1 x
3、1 x2x1 1x2 1易知 x1x 20，(x 11)(x 21)0，所以 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)，所以函数 f(x)在1，)上是增函数(2)由(1)知函数 f(x)在1,4上是增函数，则函数 f(x)的最大值为 f(4) ，最小值为 f(1)95.3219(本小题满分 12 分)已知全集 UR，集合 Ax|x a1 ，Bx|xa2，C x|x0 或 x4都是 U 的子集. 导 学 号 22840486若 U(AB) C，问这样的实数 a 是否存在？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由解析 因为 U(AB)C，所以应分两种情况(1)若 U(AB)
4、，则 ABR，因此 a2a1，即 a .32(2)若 U(AB) ，则 a21a，即 a .32又 ABx|xa1 或 xa2 ，所以 U(AB) x |a1xa2，又 U(AB) C，所以 a20 或a14，即 a2 或 a5，即 a2.又 a ，故此时 a 不存在32综上，存在这样的实数 a，且 a 的取值范围是a|a 3220(本小题满分 12 分)已知 a，b 为常数，且 a0，f (x)ax 2bx，f(2)0，方程 f(x)x 有两个相等实根. 导 学 号 22840487(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x1,2时，求 f(x)的值域；(3)若 F(x)f( x)f( x
5、 )，试判断 F(x)的奇偶性，并证明你的结论解析 (1)由 f(2)0，得 4a2b0，即 2ab0.方程 f(x)x，即 ax2bx x，即 ax2(b1)x 0 有两个相等实根，且 a0，b10，b1，代入得 a .12f(x) x2x .12(2)由(1)知 f(x) (x1) 2 .12 12显然函数 f(x)在1,2 上是减函数，x1 时，f(x) max ，x 2 时，f(x) min0.12x1,2时，函数 f(x)的值域是0， 12(3)F(x)是奇函数证明：F( x)f(x)f(x)( x2x ) (x )2(x)2x ，12 12F(x)2( x )2xF(x)，F(x)
6、 是奇函数21(本小题满分 12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 0x2 时，y x；当 x2时，yf( x)的图象是顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的一部分 .导 学 号 22840488(1)求函数 f(x)在 (，2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象；(3)写出函数 f(x)的值域和单调区间解析 (1)当 x2 时，设 f(x)a(x3) 24.f(x)的图象过点 A(2,2)，f(2)a(2 3) 242，a 2，f(x)2(x3) 24.设 x( ，2)，则x 2，f(x )2(x3) 24.又因为 f(x)在 R 上为偶函
7、数， f (x) f (x)，f(x)2(x3) 24，即 f(x)2(x3) 24，x (，2)(2)图象如图所示(3)由图象观察知 f(x)的值域为 y|y4单调增区间为(，3和0,3单调减区间为3,0和3 ，) 22(本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f(x)，满足当 x0 时，f(x )1，且对任意的x，yR，有 f(xy )f( x)f(y)，f (1)2. 导 学 号 22840489(1)求 f(0)的值；(2)求证：对任意 xR，都有 f(x)0；(3)解不等式 f(32x)4.解析 (1)对任意 x，y R，f(x y) f(x)f(y)令 xy0，得 f(0)f(
8、0)f(0)，即 f(0)f(0)10.令 y0，得 f(x)f( x)f(0)，对任意 xR 成立，所以 f(0)0，因此 f(0)1.(2)证明：对任意 xR，有 f(x)f( )f( )f( ) f( )20.x2 x2 x2 x2 x2假设存在 x0R，使 f(x0)0，则对任意 x0，有f(x)f (xx 0) x0f(x x 0)f(x0)0.这与已知 x0 时，f(x )1 矛盾所以，对任意 xR ，均有 f(x)0 成立(3)令 xy1 有f(11)f(1)f(1)，所以 f(2)224.任取 x1，x 2R，且 x10，由已知 f(x2x 1)1，f(x 2 x1)10.由(2)知 x1R，f(x 1)0.所以 f(x2)f(x 1)0，即 f(x1)4，得 f(32x )f(2)，即 32x2.解得 x .12所以，不等式的解集是( ， )12
