1、题型七 代数几何综合题1(2017保康适应性试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物12线yax 2bx c的对称轴是直线x 且经过A ，C两点，与x轴的另一交点为点B.32(1)直接写出点A，B 的坐标；直接写出抛物线的解析式；(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求APC的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点M ，过点 M作MN垂直x轴于点N ，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)A(4，0)，B(1，0)；y x2 x2；12 32
2、(2)如答图，过点P 作PQx轴交AC于点Q ，设P .(m， 12m2 32m 2)Q ，(m， 12m 2)PQ ( 12m2 32m 2) (12m 2) m22m.12S APC S PAQ S CPQ PQ|xA xC|12 412 ( 12m2 2m)m 24m(m2) 24，当m2时，PAC的面积有最大值是4，此时P(2，3)；(3)在RtAOC 中，tanCAO .12在Rt BOC 中，tanBCO .12CAOBCO.CAOACO90，BCOACO90，ACB 90，ABCACOCBO, 如答图，假设有4种情况，M点的坐标分别为M 1，M 2，M 3，M 4.当M点与C 点
3、重合 ，即M 1(0，2) 时，M 1ANBAC; 根据抛物线的对称性知，当M 2(3，2) 时，M 2ANABC；当点M 3在第四象限时，设M ，则N 3(n，0)，(n， 12n2 32n 2)M 3N3 n2 n2，AN 3 n4，12 32当M 3N3AN 312时，M 3N3 AN3，12即 n2 n2 (n4)，12 32 12整理，得n 22n80，解得n 14(舍) ，n 22，M 3(2，3)；当M 4N4AN21时，M 4N42AN 4，即 n2 n22(n4)，12 32整理，得n 2n200，解得：n 14(舍) ，n 25，M 4(5，18)综上所述：存在M 1(0，
4、2)，M 2(3，2) ，M 3(2，3) ，M 4(5，18)，使得以点A，M，N 为顶点的三角形与ABC相似. 来源:gkstk.Com2(2017营口中考)如图，抛物线yax 2bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C ，点A的坐标为(2，0)，点P 为抛物线上的一个动点 ，过点 P作PDx轴于点D，交直线BC 于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限内，当OD4PE时，求四边形POBE的面积；(3)在(2)的条件下，若点M为直线 BC上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B ，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，
5、直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yax 2bx2的对称轴是直线x1，A(2，0)在抛物线上， 解得 b2a 1，（ 2）2a 2b 2 0， ) a 14，b 12， )抛物线的解析式为y x2 x2；14 12(2)令y x2 x20，解得：x 12，x 24.当x0时 ，y2，B(4，0) ，C(0，2)14 12设BC的解析式为ykxb，则 解得4k b 0，b 2， ) k 12，b 2， )y x2，12设D(m，0) ，DPy轴，E ，来源:学优高考网gkstk来源:gkstk.Com(m， 12m 2)P .(m， 14m2 12m 2)OD4PE，m4
6、，(14m2 12m 2 12m 2)解得m 15，m 20(舍去)，D(5，0) ，P(5， )，E ，S 四边形POBE S OPD S EBD 5 174 (5， 12) 12 74 12 12 ；338(3)存在，设M ，以BD为对角线，如答图.(n， 12n 2)四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，来源:学优高考网n4 ，M .12 92 (92， 14)M，N关于x轴对称，N ；(92， 14)以BD为边，如答图.四边形BNDM是菱形，MNBD，MNBDMD 1.过M作MHx轴于 H，MH 2DH 2DM 2，即 (n5) 21 2，(12n 2)2解得：n 14(舍去)，n
7、25.6，N .(4.6， 45)同理 (4 n) 21 2，(12n 2)2n 14 (不合题意，舍去)，n 24 ，255 255N ；(5 255， 55)以BD为边，如答图，过M作MHx轴于H.MH 2BH 2 BM2，即 (n4) 21 2，n 14 ，n 24 (不合题意，舍去)，(12n 2)2255 255N(5 ， )255 55综上所述，当N点坐标为 或 或 或 时，以点B，D，M，N为顶点的(92， 14) (4.6， 45) (5 255， 55) (5 255， 55)四边形是菱形3(昆明中考)如图，对称轴为直线x 的抛物线经过B(2 ，0)，C(0，4)两点，抛物线
8、与x轴的另一交点为A.12(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点 ，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图，若M 是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在 ，请说明理由解：(1)由抛物线的对称性，得A( 1，0)，设抛物线的解析式为：ya(x1)(x2) ，把C(0，4)代入，得42a，a2，y2(x1)(x 2)，抛物线的解析式为y2x 22x4；(2)如答图，则点P(m ，2m 22m 4)，过P 作PDx轴，垂足为D.设D(m，0) ，SS 梯形 S PDB m(2m
9、22m44) (2m 22m4)(2m)，12 12S2m 24m 42(m 1) 26，20，S有最大值，则S 大 6；(3)存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形理由如下：分以下两种情况：当BQM90时，如答图.CMQ90，只能CMMQ.设直线BC的解析式为：ykxb(k0)，把B(2，0)，C(0，4)代入，得 解得 直线BC的解析式为y2x4.2k b 0，b 4， ) k 2，b 4， )设M(m，2m4)，则MQ 2m4，OQm ，BQ 2m.在RtOBC中，BC 2OB2 OC2 22 42. MQOC ，5BMQBCO ， ，即 ，BMBC BQBO BM25
10、 2 m2BM (2m)2 m，CMBCBM2 (2 m) m，CMMQ，2m4 m5 5 5 5 5 5 5 5，m 4 8.Q(4 8，0)；45 2 5 5当QMB90时，如答图，同理可设M(m，2m4)，过A作AE BC ，垂足为E.EABOCB，sin EAB ， ，BE .过E 作EF x轴于F，sinCBO ， ，EBEAB OBBC BE3 225 355 EFBE OCBC EF355 425F .由勾股定理 ，得BF ，OF 2 ，来源:学优高考网65 BE2 EF2 35 35 75E .(75， 65)由A( 1，0) 和 E 可得： 解得 AE的解析式为y x ，则直
11、线BC与直线AE的(75， 65) k b 0，75k b 65， ) k 12，b 12， ) 12 12交点为E(1.4， 1.2)设Q(x ，0)(x 0)，AE QM ，ABEQBM， ， .在ABQB |yE|yM| 1.2 2m 4 32 xRt CQM中，由勾股定理得： x24 22m 2(2m44) 2，由以上两式得：m 14(舍) ，m 2 ，当m 时43 43，x ，43Q .综上所述，Q点坐标为 (4 8，0)或 .( 43， 0) 5 ( 43， 0)4(2017日照中考)如图所示，在平面直角坐标系中，C经过坐标原点O ，且与x轴，y轴分别相交于M(4，0)，N(0，
12、3)两点已知抛物线开口向上，与C 交于N ，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C 且垂直x轴于点D.(1)求线段CD 的长及顶点 P的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)设抛物线交x轴于A，B 两点 ，在抛物线上是否存在点Q，使得S 四边形OPMN 8S QAB ，且QABOBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在 ，请说明理由解：(1)连接OC，M(4，0) ，N(0 ，3)，OM4，ON3，MN5，OC MN .CD为抛物线对称12 52轴，ODMD2.在RtOCD 中，由勾股定理可得CD ，PDPC CD 1OC2 OD2 (52)2 22 32 52 32，P(
13、2 ，1)；(2)抛物线的顶点为P(2 ， 1)，设抛物线的函数解析式为ya(x2) 21.抛物线过N(0 ，3)，3a(02)21， 解得a 1，抛物线的函数解析式为y(x 2) 21，即yx 24x3；(3)在yx 24x3中，令y0可得0x 24x3，解得x 1或x3，A(1 ，0)，B(3，0)，AB312.ON3，OM4，PD 1，S 四边形OPMN S OMP S OMN OMPD OMON 41 4388S QA12 12 12 12B， S QAB1. 设Q点纵坐标为y，则 2|y|1，解得 y1或y1，当y1时，则QAB 为钝角三角形，而12OBN为直角三角形，不合题意 ，舍
14、去；当y1时，可知P点即为所求的Q点D 为AB的中点，ADBDQD，QAB为等腰直角三角形ONOB3，OBN为等腰直角三角形，QABOBN ，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为 (2，1)5.(2017乐山中考)如图，抛物线C 1：yx 2ax与C 2：yx 2bx相交于点O，C，C 1与C 2分别交x轴于点B，A，且B 为线段AO的中点(1)求 的值；ab(2)若OC AC，求OAC的面积；(3)如图，抛物线C 2的对称轴为l ，顶点为M，在(2) 的条件下：点P为抛物线C 2对称轴l上一动点 ，当PAC 的周长最小时，求点P的坐标；点E在抛物线C 2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的
15、面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)对于yx 2ax，当y0时，x 2ax0，x 10，x 2a，B(a，0)对于yx 2bx，当y0时，x 2bx0，x 10，x 2b，A(b，0) ，B 为OA的中点，b2a. ；ab 12(2)联立 整理得 2x23ax 0，解得：x 10，x 2 a.当x a时，y a2，Cy x2 ax，y x2 2ax， ) 32 32 34 ( 32a， 34a2).过C 作CDx轴于点 D，D .OCA 90，OCDCAD， ，CD 2ADOD，即( 32a， 0) CDAD ODCD a ，a 10( 舍
16、去) ，a 2 (舍去)，a 3 ，OA2a ，CD a21，S OAC O(34a2)212 ( 32a) 233 233 433 34 12ACD ；233(3)由(2)知，C 2：yx 2 x，C( ，1) ，对称轴l 2：x ，点A关于l 2的对称点为O(0，0) ，则根据两433 3 233点之间线段最短可知，P为直线OC与l 2的交点，设OC的解析式为 ykx，1 k，得k x，333则OC的解析式为y x.当x 时，y ，33 233 23P ；(233， 23)连接BE.设E (0m )，则S OBE m2 m.设直线BC的(m， m2 433m) 233 12 233 ( m
17、2 433m) 33 43解析式为ykxb，将B ，C( ，1)代入，得 解得(233， 0) 3 1 3k b，0 233k b， ) k 3，b 2， )直线BC的解析式为 y x2.过点E作x轴的平行线交直线 BC于点N，则m 2 m x2，即x3433 3 33m2 m ，EN m2 m m m2 m ，S EBC EN|yCy B| 143 233 33 43 233 33 13 233 12 12 m2 m ，S 四边形OBCE S OBE S EBC ( 33m2 13m 233) 36 16 33 ( 33m2 43m) ( 36m2 16m 33) m2 m .0m ，当m 时，S 最大 ，当m 时，y32 32 33 32(m 32)217324 233 32 17324 32 ，E ，S 最大 Error!.(32)2433 32 54 ( 32， 54)
