1、题型五 圆的证明与计算,命题规律与解题策略)【命题规律】圆的有关证明与计算是青海中考重点内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现分值在13分左右，难度在中等偏上【解题策略】解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线、找到解题思路与方法是关键一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等,重难点突破)与圆的基本性质有关的计算与证明【例1】(2017呼和浩特中考)如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为M，若AB12，OMMD58，则O的周长为( )A26 B13 C.965D.3910
2、5【解析】根据条件构造垂径定理基本图，应用勾股定理求半径，最后求周长即可【答案】B 来源 :学优高考网 gkstk【例2】(2017哈尔滨中考)如图，O中，弦AB，CD相交于点P，A42，APD77，则B的大小是( )A43B35C34D44来源:gkstk.Com【解析】据题意，由外角关系可求得【答案】B1如图，CD为O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：AECDEB；(2)若CD AB，AB8，DE2，求O的半径解：(1)AECDEB，ACEDBE，AEC DEB；(2)设O的半径为 r，则OEr2.CDAB ，AB8，AE BE AB4.12在Rt OEB中，由勾股定
3、理，得(r 2) 216r 2，解得r 5.【方法指导】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算2(永州中考)如图，P是O 外一点，PA，PB分别交O于C，D两点，已知 和 所对的圆心角分别为90AB CD 和50，则P ( D )A45 B 40C25 D20【方法指导】圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角) 的转化与圆的切线有关的证明【例3】(2017荆门中考)已知：如图，在ABC中，C90，BAC的平分线AD 交BC 于点D，过点D 作DEAD
4、交AB 于点E，以AE为直径作O.(1)求证：BC是O的切线；(2)若AC 3，BC4，求BE的长【解析】(1)作半径证垂直，已知C90，只需要证明ACOD即可；(2)先用A型相似求出半径，再用BEAB AE即可【答案】解：(1)连接OD.在Rt ADE中，点O 为AE的中心 ，DOAOEO AE.来源:学优高考网gkstk12点D在O上，且DAOADO.又AD平分CAB，CADDAO，ADOCAD，ACDO.C90，ODB90，即ODBC.又OD为半径，BC 是O的切线；(2)在RtACB中，AC3，BC4，AB5.设ODr ，则BO5r.ODAC，BDOBCA， ，DOAC BOBA即 ，
5、解得r ，r3 5 r5 158BEABAE5 .154 54【例4】(2017枣庄中考)如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC ，AB于点 E，F.(1)试判断直线BC与O的位置关系 ，并说明理由；(2)若BD 2 ，BF2，求阴影部分的面积(结果保留 )3【解析】(1)连接OD，证明ODAC，即可证得ODB 90，从而证得BC 是O的切线；(2) 在RtOBD中，设OF OD x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径求出圆心角的度数，用Rt ODB的面积减去扇形DOF的面积即可求
6、得阴影部分面积【答案】解：(1)BC与O相切证明如下：连接 OD.AD是BAC的平分线，BADCAD.又ODOA，OADODA，CADODA，OD AC，ODBC90，即ODBC.又BC过半径OD 的外端点D，BC与O 相切；(2)设OFODx，则OBOFBFx2.由勾股定理，得OB 2OD 2BD 2，即(x2) 2x 212，解得x2，即ODOF2，OB 22 4.Rt ODB中，OD OB，B30，来源:学优高考网gkstk12DOB60，S 扇形DOF ，60 4360 23S 阴影 S ODB S 扇形DOF 22 2 .12 3 23 3 23故阴影部分的面积为2 .3233(20
7、17宜城适应性试题)如图，在ABC中，ABC90，D 是边AC上的一点，连接BD，使A21，E是BC上的一点，以BE为直径的O 经过点D.(1)求证：AC 是 O的切线；(2)若A60 ，O的半径为2，求阴影部分的面积(结果保留根号和 )解：(1)如图，连接OD.OBOD，12，DOC21.A21，ADOC.ABC90，AC90，DOCC90，ODC1809090，即ODAC.OD为半径，AC是O的切线；(2)ADOC60，OD 2，在Rt ODC中，tan60 ，DCOD DC2DC2tan602 2 ，3 3S RtODC ODDC 22 2 ，12 12 3 3S 阴影 S RtODC
8、S 扇形ODE 2 2 .360 22360 3 234(2017永州中考)如图，已知AB是O的直径，过O点作OPAB，交弦AC于点D，交O于点E，且使PCAABC.(1)求证：PC是O的切线；(2)若P60，PC2，求PE的长解：(1)连接OC.OBOC ，ABC OCB.又PCA ABC，PCA OCB.AB为O直径，ACB90.ACOOCB90，ACOPCA90，即OCP90，PC是 O的切线；(2)在RtPCO中，tanP ，OCPCOCPCtanP 2tan602 .3sinP ，OP 4，OCOP OCsinP 2332PEOPOEOP OC42 .3【方法指导】证直线为圆的切线的
9、两种方法：如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角5(2017山西中考)如图，ABC内接于O ，且AB为O的直径，ODAB，与AC交于点E，与过点C的O的切线交于点D.(1)若AC 4，BC2，求OE的长；(2)试判断A与 CDE的数量关系 ，并说明理由解：(1)AB 是 O的直径，ACB90.在Rt ABC 中， 由勾股定理， 得AB 2 ，AC2 BC2 42 22 5AO AB .12 5ODAB，AOEACB90.又AA，AOEACB ， ， OE ；OEBC AOAC BCAOAC 254 52(2)CDE2A.理由如下：连接OC.OAOC，ACOA.来源:学优高考网gkstkCD是O的切线，OCCD，OCD90，DOCCDE90.ODAB，DOCCOB90，COBCDE.COBA ACO 2 A ，CDE2A.【方法指导】(1)在RtABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO .再由AOE ACB，得到 OE的长；(2)连接OC ，得 ACOA，再证COB CDE，从而得结论
