1、第三章 3.4 第 2 课时一、选择题1已知正数 a、b 满足 ab10，则 ab 的最小值是( )A10 B25C5 D2 10答案 D解析 ab2 2 ，等号在 ab 时成立，选 D.ab 10 102已知 m、nR，m 2n 2100，则 mn 的最大值是( )A100 B50C20 D10答案 B解析 由 m2n 22mn 得，mn 50，等号在 mn5 时成立，故选 B.m2 n22 23若 a0，b0 且 ab4，则下列不等式恒成立的是( )A. B 11ab12 1a 1bC. 2 D ab1a2 b2 18答案 D解析 a0 ，b0，ab4， 2，aba b2ab4， ，1ab
2、 14 1，故 A、B、C 均错，选 D.1a 1b a bab 4ab4已知正数 x、y 满足 1，则 xy 有( )1x 4yA最小值 B最大值 16116C最小值 16 D最大值116答案 C解析 x0，y0， 2 4 ，又 1，1x 4y 4xy 1xy 1x 4y4 1，1xy ，1xy 116xy16，故选 C.5设 a、b 是实数，且 ab3，则 2a2 b的最小值是( )A6 B4 2C2 D86答案 B解析 2 a0,2b0，ab3，2 a2 b2 2 2 4 ，2a2b 2a b 23 2等号成立时，2 a2 b，ab .326实数 x、y 满足 x2y4，则 3x9 y的
3、最小值为( )A18 B12C2 D3 43答案 A解析 x2y 4，3 x9 y3 x3 2y2 2 2 18，3x32y 3x 2y 34等号在 3x3 2y即 x2y 时成立x2y4，x 2，y1 时取到最小值 18.二、填空题7已知 2(x0 ，y0)，则 xy 的最小值是_5x 3y答案 5解析 x0，y0， 2，5x 3y22 ，xy15，15xy当且仅当 ，且 2，即 x5，y3 时，取等号5x 3y 5x 3y8建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元答案 1 760解析 设
4、水池池底的一边长为 x m，则另一边长为 m，则总造价为：4xy48080 2480320(2x 24x) (x 4x)4803202 1 760.x4x当且仅当 x 即 x2 时，y 取最小值 1 760.4x所以水池的最低总造价为 1 760 元三、解答题9已知 a、b、cR ，求证： abc.a2b b2c c2a证明 a、b、cR ， ， ， 均大于 0，a2b b2c c2a又 b2 2a，a2b a2bbc2 2b，b2c b2cca2 2c，c2a c2aa三式相加得 b c a2a2b2c ，a2b b2c c2a abc .a2b b2c c2a10已知 a、b、cR ，求证
5、： (abc) a2 b2 b2 c2 c2 a2 2证明 ， a b2 a2 b22 a2 b2 a b2 (ab)(a，bR 等号在 ab 时成立)22同理 (bc )(等号在 bc 时成立)b2 c222 (ac )(等号在 ac 时成立)a2 c222三式相加得 a2 b2 b2 c2 a2 c2 (ab) (bc) (a c)22 22 22 (abc)(等号在 abc 时成立).2一、选择题1设 x3y20，则 3x27 y1 的最小值为( )A7 B3 39C12 D52答案 A解析 由已知得 x3y 2，3x0,27y0，3 x27 y1 2 1 617，3x 3y当且仅当 3
6、x27 y，即 x1，y 时等号成立132已知 a0，b0 ，且 ab1，则 的最小值为( )(1a2 1)(1b2 1)A6 B7C8 D9答案 D解析 ab1，a0 ，b0 ，ab ，等号在 ab 时成立14 12 (1a2 1)(1b2 1) 1 a2a2 1 b2b2 1 aba2 1 bab2 1 a1 bab 1 19，故选 D.2 abab 2ab 2143若直线 2axby 20(a0，b0)被圆 x2y 22x 4y10 截得的弦长为 4，则 的最小值为( )1a 1bA. B14 12C2 D4答案 D解析 圆的标准方程为(x1) 2(y2) 24，圆的直径为 4，而直线被
7、圆截得的弦长为 4，则直线应过圆心(1,2)，2a2b20，即 ab1， (ab)11 1a 1b (1a 1b) ba ab22 4 (等号在 ab 时成立)baab 12故所求最小值为 4，选 D.4设 a、b 是两个实数，且 ab，a 5b 5a3b2a 2b3，a 2b 22(ab1) ， 2.上述三个式子恒成立的有( )ab baA0 个 B1 个C2 个 D3 个答案 B解析 a 5b 5(a 3b2a 2b3)a 3(a2b 2)b 3(b2a 2)(a 2b 2)(a3b 3)(ab)2(ab)( a2ab b 2)0 不恒成立； (a2b 2)2( ab1)a 22ab 22
8、b2(a1)2( b 1)20 恒成立； 2 或 0 ，( xy)( )1x ay1a 1a2 ，yx xay a由条件知 a2 19，a4.a6若实数 x、y 满足 x2y 2xy1，则 xy 的最大值是_答案 233解析 x 2y 2xy1， (xy) 2xy1.又xy( )2，x y2(xy) 2( )21，x y2即 (x y)21.34(xy) 2 .43 xy .233 233xy 的最大值为 .233三、解答题7已知 a、b 均为正实数，且 2a8bab0，求 ab 的最小值解析 2a8bab0， 1，又 a0，b0，8a 2bab(ab)( )10 8a 2b 8ba 2ab1
9、02 18，当且仅当 ，即 a2b 时，等号成立8ba2ab 8ba 2ab由Error!，得Error!.当 a12，b6 时，ab 取最小值 18.8某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状) ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价20 元试求：(1)仓库面积 S 的取值范围是多少？(2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解析 (1)设正面铁栅长 x m，侧面长为 y m，总造价为 z 元，则z40x 245y20xy40x 90y20xy，仓库面积 Sxy.由条件知 z3 200，即 4x9y2xy320.x0，y0，4x9y2 12 .4x9y xy6 S160，即( )26 1600.S S S0 10，0S100.S故 S 的取值范围是(0,100(2)当 S100 m 2 时，4x 9y ，且 xy100.解之得 x15(m)，y (m)203答：仓库面积 S 的取值范围是(0,100，当 S 取到最大允许值 100 m2 时，正面铁栅长 15 m.
