1、题型五 函数与几何综合题类型三 二次函数与圆结合针对演练1. (2017 麓山国际实验学校二模)已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数yx 22nx3n 2(n0)与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧)，与 y 轴交于点C.(1)求 A、B 及顶点的坐标 (用含 n 的代数式表示)；(2)如图所示，当 AB4 时， D 为(4，1)，在抛物线上是否存在点 P，使得以线段 PD 为直径的O经过坐标原点 O？若点 P 存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)在(2)的条件下，已知点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，G 为平面内一点，若以 B、E 、F
2、、 G 为顶点的四边形是正方形，请直接写出 E 点所有可能的坐标第 1 题图2. (2017 长沙中考模拟卷五)如图，二次函数 yax 2bxc 的图象交 x 轴于点 A(1， 0)、B(2，0)，交 y 轴于点 C(0，2)，过点 A、C 画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且 PAPC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以点 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为点 H， 若点 M 在 y 轴右侧，且 CHMAOC( 点 C 与点 A 对应)，求点 M 的坐标； 若M 的半径为 ，求点 M 的坐标455第 2 题图 备用图3. (2017 日照
3、)如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x轴，y 轴分别相交于 M(4，0)，N(0，3)两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N、 H、P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D.(1)求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；(2)求抛物线的函数表达式；(3)设抛物线交 x 轴于 A、 B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形OPMN8S QAB ，且QABOBN 成立，若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图4. (2017 长沙中考模拟卷一)如图，直线 yx2 与抛物线 yx 22mxm 2m交于 A、
4、B 两点( A 在 B 的左侧 )，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M，与 x 轴交于点 N.(1)若点 P 为直线 OD 上一动点，求APB 的面积；(2)当四边形 CODM 是菱形时，求点 D 的坐标；(3)作点 B 关于直线 MD 的对称点 B，以点 M 为圆心，MD 为半径作 M，点 Q是M 上一动点，求 QB QB 的最小值22第 4 题图答案1. 解：(1)令 y0，则 x22nx3n 20，解得 xn 或 3n，n0 且 A 点在 B 点左侧，A 点坐标为( n，0)，B 点坐标为(3n，0)，二次函数对称轴为 x n，将 xn 代入
5、函数得 y4n 2， 2n2顶点为(n ，4n 2)；(2)在抛物线上存在点 P 能够使得以线段 PD 为直径的O 经过坐标原点 O.理由如下：AB4n4，解得 n1，yx 22x3，设 P 点的坐标为( x，x 22x3)，线段 PD 为O的直径，D(4，1)，O点的坐标为( ， )，x 42 x2 2x 42OOOD，( )2( )2( 4) 2( 1) 2，x 42 x2 2x 42 x 42 x2 2x 42整理得 x26 x30，解得 x32 ，3当 x32 时，x 22x3(32 )22(32 )3128 ，3 3 3 3此时 P 点的坐标为(3 2 ，128 )，3 3当 x32
6、 时，x 22x3(32 )22(32 )3128 ，此时 P 点3 3 3 3的坐标为(3 2 ，128 )，3 3综上所述，当 P 点坐标为(32 ，128 )或(32 ，128 )时，以线段3 3 3 3PD 为直径的O经过坐标原点 O；(3)E 点所有可能坐标为(0，0)，(2，0)，(3，0)，(7，0)理由如下：F 点在抛物线 yx 22x3 上，E 点在 x 轴上，设 E 点的坐标为(m，0)，设 F 点的坐标为( m，m 2 2m3)，分两种情况：当 BE 为正方形 BEFG 的边时，四边形 BEFG 是正方形，BEEF，|m3|m 22m3|，即 m3m 22m3，或 m3(
7、m 22m3)，解得 m10，m 23，或 m32，m 43，当 m3 时，E 点与 B 点重合 ，不合题意，舍去，E 点的坐标为(0 ，0)或(2，0)；当 BE 为正方形 BFEG 的对角线时，BEFG，BE FG ，BE 与 FG 互相平分，点 F 在 BE 的垂直平分线上，且点 F 到 x 轴的距离 BE，12F 点的坐标为( ，| |)，m 32 m 32点 F 在抛物线 yx 22x3 上，| |( )22( )3，m 32 m 32 m 32即 ( )22( )3，m 32 m 32 m 32或 ( )22( )3，m 32 m 32 m 32解得 m13，m 23，或 m37，
8、m 43，当 m3 时，E 点与 B 点重合，不合题意，舍去，E 点的坐标为( 3，0)或 (7，0)，综上可知，E 点所有可能的坐标为(0，0)或( 2，0)或(3，0)或(7，0)2. 解：(1) 二次函数 yax 2bxc 的图象交 x 轴于点 A(1，0)、B(2，0)，设该二次函数的解析式为 ya(x 1)(x2)，又二次函数 yax 2bxc 的图象交 y 轴于点 C(0，2)，将 x0，y2 代入得2a(0 1)(02)，解得 a1，抛物线的解析式为 y (x1)(x2)，即 yx 2x2；(2)设 OPx，则 PCPAx1，在 RtPOC 中，OPx，PCx1，OC2，由勾股定
9、理可得：x 22 2 (x1) 2，解得 x ，32即 OP ；32(3) CHM AOC，点 C 与点 A 对应，MCHCAO，情形：如解图，当 H 在点 C 下方时，MCHCAO，CAOOCA90 ，MCHOCA90，OCM90，CMx 轴，y M2，又点 M 在二次函数图象上，x 2x22，解得 x10(舍去)或 x21，M(1, 2)；情形：如解图，当 H 在点 C 上方时，MCHCAO，PAPC，由(2)得，M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM 的解析式为 ykx2，将点 P( ，0)的坐标代入，32得 k20，解得 k ，32 43y x2，43由 x2x 2x2，4
10、3解得 x0(舍去)或 x ，73y 2 ，4373 109M( ， )，73 109点 M 的坐标为(1 ，2) 或( ， )；73 109在 x 轴上取一点 D，如解图，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE ，作455D 关于点 A 的对称点 D也满足要求在 RtAOC 中AC ，AO2 CO2 12 22 5COADEA 90，OACEAD ，AED AOC， ，ADAC DEOC ，解得 AD2，AD5 4552点 D 的坐标为(1，0) 或 (3，0) ，如解图，过点 D 作 DMAC，交抛物线于点 M，设直线 AC 的解析式为 ykx 2，将 A(1，0)代入得 k 2，设直
11、线 DM 的解析式为 y2x b，将 D(1，0) 或 (3，0)代入得2b0 或 6b0，解得 b2 或 b6，直线 DM 的解析式为：y2x 2 或 y2x6，当2x6 x2x2 时，即 x2x40，b 24ac150，方程无实数根，当2x2 x2x2 时，即 x2x40，得 x1 ，x 2 ， 1 172 17 12当 x 时， 1 1722x23 ，17当 x 时，17 122x23 ，17点 M 的坐标为( ，3 )或( ，3 ) 1 172 17 17 12 173. 解：(1) C 经过 M、N、O 三点，且MON 是直角，MN 是C 的直径，即 MN 过圆心 C，M(4，0)，
12、N(0，3)，OM 4，ON3，C(2， )，32MN 5，OM2 ON2 42 32C 的半径为 ，52CP 所在直线为抛物线的对称轴，且与 x 轴垂直，垂足为点 D，CP 为C 的半径，D(2， 0)，CD ，32DP CPCD 1，52 32P(2，1)；(2)抛物线的顶点坐标为 P(2，1)，可设抛物线表达式为 ya(x 2) 21，抛物线经过点 N(0，3)，3a(0 2) 21，解得 a1，抛物线的表达式为 y (x2) 21；(3)存在理由如下：P(2，1)，DP 1，OM 4，ON3，S 四边形 OPMNS MON S MOP OMON OMDP8，12 12S 四边形 OPM
13、N8S QAB ，S QAB 1，将 y0 代入 y(x2) 21 中，解得 x1 或 x3，A(1，0)，B(3，0) ，AB2，QAB 中 AB 边上的高为 1，2SQABAB若存在满足条件的点 Q，则 Q 点的纵坐标为 1 或1，OB ON3，NOB90，OBN 为等腰直角三角形，OBNQAB ，QAB 为等腰直角三角形，BQA NOB90，当点 Q 在 x 轴上方的抛物线上时，BQA 不可能为直角，点 Q 不可能在 x 轴上方；当点 Q 在 x 轴下方时，QAB 是等腰直角三角形，BQA 90 ，AQ BQ，点 Q 在抛物线的对称轴上，点 Q 为抛物线的顶点，当 Q(2，1)时，其纵坐
14、标为 1，满足条件，且 AQBQ ，2AB2，AQ 2BQ 2AB 2，AQB 为直角， ABQ 为等腰直角三角形，满足题意，综上所述：抛物线上存在点 Q(2，1)，使得 S 四边形 OPMN8S QAB ，且QABOBN.4. 解：(1)由 ，y x 2y x2 2mx m2 m)解得 或 ，x1 m 1y1 m 1) x2 m 2y2 m 4)点 A 在点 B 的左侧，A(m1，m 1)，B(m2，m4)，ABm1(m2) 2(m1)(m4) 23 .2yx 22mxm 2m(xm) 2m，D(m ，m) ，DONCOD45 ，直线 OD 的解析式为 y x.直线 yx2 与 y 轴交于点
15、 C，C(0，2) OC2，直线 AB 的解析式为 yx2，ABOD，直线 AB 与 OD 之间的距离 h OC ，22 2S APB ABh 3 3；12 12 2 2(2)ABOD，OCDM，四边形 CODM 是平行四边形，四边形 CODM 是菱形，ODOC.( m)22 2，解得：m ，2 2点 D 的坐标为( ， )或( ， )；2 2 2 2(3)四边形 CODM 是平行四边形，MQ MD OC2，A(m1，m 1)，B(m2，m 4)，抛物线对称轴为 xm，点 B 到对称轴的距离为 m2m2，如解图，连接 BF，直线 AB 的解析式为 y x2，FMB MBF45 ，BFMF2，MFB90，MB2 ，取 MB 的中点 E，则 ME ，2 2 MQ 24MEMB，即 MQMB MEMQ又QME BMQ ，QME BMQ， ，QEQB MEMQ 22QE QB，22QB QB 的最小值即为 QBQE 的最小值，亦即线段 BE 的长，22设直线 MD 与M 相交于另一点 F，点 B 关于直线 MD 的对称点为 B，BMF BMF45，MBMB2 ，2BMB 90，BE .BM2 ME2 8 2 10
