1、第四章 4.2 4.2.1 基础巩固一、选择题1直线 axy2a0 与圆 x2y 29 的位置关系是( )A相离 B相交C相切 D不确定答案 B解析 当 a0 时，直线 y 0 显然与该圆相交；当 a0 时，圆心(0,0)到直线axy2a0 距离 d 23(半径)，也与该圆相交2|a|a2 1 2|a|a22设直线 l 与圆 x2y 21 相切于点 M( ， )，则 l 的斜率是( )12 32A1 B12C D33 3答案 C解析 设圆心为 C，k CM ，CMl ，3l 的斜率 k .333已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相切，则圆 C 的
2、方程为( )Ax 2y 22x30 Bx 2y 24x0Cx 2 y22x30 Dx 2y 24x0答案 D解析 设圆心为( a,0)(a0)，则 2，即 a2，|3a 4|5圆 C 的方程为(x2) 2y 24.4圆心坐标为(2，1)的圆在直线 xy 10 上截得的弦长为 2 ，那么这个圆的方2程为( )A(x 2)2(y1) 24 B(x2) 2(y1) 22C(x2) 2( y1) 28 D( x2) 2(y1) 216答案 A解析 d ，r 2，|2 1 1|1 1 2 2 2圆的方程为(x2) 2(y 1) 24.5已知直线 x7y 10 把圆 x2y 24 分成两段弧，这两段弧长之
3、差的绝对值等于( )A B2 23C D2答案 D解析 圆 x2y 24 的圆心为 O(0,0)，半径 r2，设直线 x7y10 与圆 x2y 24交于 M，N 两点，则圆心 O 到直线 x7y10 的距离 d ，过点 O 作 OPMN| 10|1 49 2于 P，则 |MN| 2 2 .在MNO 中，|OM| 2| ON|22r 28|MN| 2，则r2 d2 2MON90，这两段弧长之差的绝对值等于2.|360 902180 902180 |6圆(x 3) 2(y 3) 29 上到直线 3x4y110 的距离等于 1 的点有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 C解析 圆心(3,
4、3)到直线 3x4y110 的距离，d 2，又|33 43 11|5r3，故有三个点到直线 3x4y 110 的距离等于 1.二、填空题7(2013山东)过点(3,1)作圆(x 2) 2( y2) 24 的弦，其中最短弦的长为_.答案 2 2分析 先判断最短弦的位置，然后构造由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形进行求解解析 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距 d，所以最短弦长为 2 2 2 .3 22 1 22 r2 d2 22 22 28(2012江西卷)过直线 xy2 0 上点 P 作圆 x2y 21 的两条切线，若两条切线的夹角是 60，2则点
5、 P 的坐标是_.答案 ( ， )2 2解析 本题主要考查数形结合的思想，设 P(x，y)，则由已知可得 PO(O 为原点) 与切线的夹角为 30，由| PO|2，由 Error!可得Error!.三、解答题9已知一个圆 C 与 y 轴相切，圆心 C 在直线 l1：x3y0 上，且在直线 l2：xy0上截得的弦长为 2 ，求圆 C 的方程7分析 设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可解析 圆心 C 在直线 l1：x3y 0 上，可设圆心为 C(3t，t)又圆 C 与 y 轴相切，圆的半径为 r|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得( )2( )2|3t
6、| 2.|3t t|2 7解得 t1.圆心为(3,1)或(3，1)，半径为 3.故所求圆的方程为(x3) 2(y1) 29 或(x3) 2(y1) 29.10已知圆 x2y 2x 6ym 0 与直线 x2y30 相交于 P、Q 两点，O 为原点，且 OP OQ，求实数 m 的值解析 设点 P、Q 的坐标分别为( x1，y 1)、( x2，y 2)由 OPOQ ，得 kOPkOQ1 ，即 1，x 1x2y 1y2 0.y1x1y2x2又(x 1， y1)、(x 2，y 2)是方程组Error!的实数解，即 x1，x 2 是方程 5x210x4m 270 的两个根，x 1x 22，x 1x2 .
7、4m 275P、Q 是在直线 x2y30 上，y 1y2 (3x 1) (3x 2)12 12 93( x1x 2)x 1x214将代入，得 y1y2 . m 125将代入，解得 m3.代入方程 ，检验 0 成立，m3.能力提升一、选择题1过点(2,1)的直线中，被圆 x2y 22x4y 0 截得的弦最长的直线的方程是( )A3xy50 B3x y70C3x y10 D3xy50答案 A解析 x 2y 22x4y0 的圆心为(1，2) ，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，2)直线方程为 3xy 50，故选 A2若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x2) 2y 21 有公共点，则直
8、线 l 的斜率的取值范围为( )A( ， ) B ， 3 3 3 3C( ， ) D ， 33 33 33 33答案 D解析 解法 1：如图，BC 1，AC2，BAC30， k .33 33解法 2：设直线 l 方程为 yk(x4) ，则由题意知，1， k .|2k 0 4k|1 k2 33 33解法 3：过 A(4,0)的直线 l 可设为 xmy 4，代入(x2) 2y 21 中得：(m21)y 24my 30，由 16m 212(m 21)4m 2120 得m 或 m .3 3l 的斜率 k ，0)(0 ， ，特别地，当 k0 时，显然有公共点，1m 33 33k ， 33 333(201
9、5全国卷)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则|MN|( )A2 B86C4 D106答案 C解析 由已知得 kAB ，k CB 3，所以 kABkCB1，所以3 21 4 13 2 74 1AB CB，即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为 (1，2) ，半径为 5，所以外接圆方程为(x1) 2(y 2)225，令 x0，得 y2 2，所以| MN|4 ，故选 C6 64设圆(x3) 2(y 5) 2r 2(r0)上有且仅有两个点到直线 4x3y20 的距离等于1，则圆半径 r 的取值范围是( )A34 Dr 5答案 B解析 圆心 C(3，5
10、) ，半径为 r，圆心 C 到直线 4x3y20 的距离 d 5，由于圆 C 上有且仅有两个点到直线 4x 3y20 的距离等于 1，则|12 15 2|42 32d1 rd1，所以 4r6.二、填空题5(2015江苏南京模拟)设直线 l 截圆 x2y 22y0 所得弦 AB 的中点为( ， )，则直线 l 的方程为12 32_；|AB| _.答案 xy 20 2解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x y 2y 10，x y 2y 20，两式相减得21 21 2 2(x1x 2)(x1x 2)(y 1y 2)(y1y 2)2( y1y 2)0，k AB 1.故 l 的方程为
11、y1 y2x1 x2y 1(x )，即 xy 2 0.又圆心为(0,1)，半径 r1 ，故|AB| .32 12 26(2013江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y1 相切，则圆 C 的方程是_.答案 (x2) 2( y )232 254分析 由已知设出圆 C 的方程，与直线的方程联立，利用0 即可求解解析 因为圆过原点，所以可设圆的方程为 x2y 2DxEy0.因为圆过点(4,0)，将点(4,0) 代入圆的方程得 D4，即圆的方程为x2y 24xEy0.又圆与直线 y1 相切，将其代入圆的方程得 x214x E0，又方程只有一个解，所以 424(1 E )0，解得 E3.
12、故所求圆的方程为 x2y 24x 3y0，即(x2) 2(y )2 .32 254三、解答题7(2015湖南师大附中期末)已知圆 C：x 2 y22x4y 30.(1)求圆心 C 的坐标及半径 r 的大小；(2)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切，且在 x 轴、y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程；(3)从圆外一点 P(x，y)向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且| MP|OP|，求点 P 的轨迹方程解析 (1)圆心 C 的坐标为(1,2)，半径为 .2(2)直线 l 在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线 l 方程为 xya， ，| 1 2 a|2 2a1 或 a3.所求直线
13、 l 的方程为 xy10 或 xy30.(3)连接 CM，则切线 PM 与 CM 垂直，连接 PC，|PM |2|PC| 2|CM| 2，又|PM |OP |，(x1) 2(y 2)22x 2y 2，即 2x4y30，点 P 的轨迹方程为 2x4y30.8已知圆 C：x 2(y 1) 25，直线 l：mx y 1m0.(1)求证：对 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)作直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若|AB| ，求直线 l 的倾斜角17解析 (1)方法一：由Error!消去 y 并整理，得(m 21)x 22m 2xm 250.(2m 2)24(m 21)(m 25
14、) 16m 2200，对于一切 mR 恒成立，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点方法二：l 的方程可变形为 y1m(x1)，故直线恒过定点 P(1,1)因为|PC |21 2(1 1) 25，所以 P(1,1)在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点方法三：圆 C 的圆心(0,1)到直线 l 的距离 d ，d 25 0.即| m|m2 12 4m2 5m2 1圆心到直线 l 的距离小于圆的半径，所以直线 l 和圆 C 必有两个不同的交点(2)圆 C 的半径为 r ，所以圆心到直线 l 的距离为 d .5r2 |AB|22 32由点到直线的距离公式，得 ，| m|m2 12 32解方程，得 m .直线 l 的倾斜角为 或 .33 23
