1、第二章 2.1 2.1.2 基础巩固一、选择题1异面直线是指( )A空间中两条不相交的直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C平面内的一条直线与平面外的一条直线D不同在任何一个平面内的两条直线答案 D解析 对于 A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面A 应排除对于 B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，B 应排除对于 C，如右图的 a，b 可看作是平面 内的一条直线 a 与平面 外的一条直线 b，显然它们是相交直线，C 应排除只有 D 符合定义应选 D规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几
2、何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项2正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，与对角线 AC1 异面的棱有( )A3 条 B4 条C6 条 D8 条答案 C解析 画一个正方体，不难得出有 6 条3若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则( )Aac Ba、c 是异面直线Ca、c 相交 Da、c 平行或相交或异面答案 D解析 a、b、c 的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为 D4空间两个角 、 的两边对应平行，若 60 ，则 为 ( )A60 B120C30 D60或 120答案 D解析 由等角定理知 、
3、相等或互补所以 60或 120.5空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AC、BD 中点，若 CD2AB，EFAB，则 EF与 CD 所成的角为( )A30 B45C60 D90答案 A解析 取 AD 的中点 H，连 FH、EH，在EFH 中 EFH90，HE2HF，从而FEH 30，故选 A6下列命题中，正确的结论有( )如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1
4、 个 B2 个C3 个 D4 个答案 B解析 是正确的二、填空题7如图所示，在三棱锥 PABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对答案 3解析 AP 与 BC 异面、BP 与 AC 异面、PC 与 AB 异面8如图所示，六棱柱 ABCDEFA 1B1C1D1E1F1 中，底面是正六边形(1)A1F1 与 BD 所成角的度数为_.(2)C1F1 与 BE 所成角的度数为_.答案 30 60三、解答题9如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 分别是棱 CC1，BB 1，DD 1 中点求证：BGCFD 1E.分析 利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等解析
5、 因为 E，F，G 分别是正方体的棱 CC1，BB 1，DD 1 的中点，所以 CE 綊GD1，BF 綊 GD1.所以四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形所以GCD 1E，GBD 1F.因为 BGC 与FD 1E 的方向相同，所以BGCFD 1E.10如图，等腰直角三角形 ABC 中，A90，BC ，DAAC，DAAB，若2DA1，且 E 为 DA 的中点求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值分析 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引 BE 与 DC 的平行线，换句话说，平移 BE(或 CD)设想平移 CD，沿着 DA 的方向，使 D 移向 E，则 C
6、 移向 AC 的中点 F，这样 BE 与 CD 所成的角即为BEF 或其补角，解EFB 即可获解解析 取 AC 的中点 F，连接 BF、EF，在ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点，EFCD，BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角 )在 Rt EAB 中，AB 1，AE AD ，BE .12 12 52在 Rt AEF 中，AF AC ，AE ，EF .12 12 12 22在 Rt ABF 中，AB 1，AF ，BF .12 52在等腰EBF 中，cosFEB ，12EFBE2452 1010异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 .1010能力提升一、
7、选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A异面 B相交C平行 D异面或相交答案 D解析 如图所示，a、b 是异面直线，AB、AC 都与 a、b 相交，AB、 AC 相交； AB、DE 都与 a、b 相交，AB 、DE 异面2已知 a、b、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是( )A若 ab，bc，则 acB若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 也相交C若 ab，bc ，则 acD若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 也是异面直线答案 C解析 由平行公理可知 C 正确，而其他可举反例说明错误3空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个
8、四边形各边中点，所组成的四边形是( )A梯形 B矩形C平行四边形 D正方形答案 D解析 E、 F、G、H 分别为中点，如图FG 綊 EH 綊 BD，12HG 綊 EF 綊 AC，12又BDAC 且 BDAC，FGHG 且 FGHG ，四边形 EFGH 为正方形4点 E、F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 ( )A60 B45C30 D90答案 D解析 如图，取 PB 的中点 G，连结 EG、FG ，则EG 綊 AB，GF 綊 PC，则EGF(或其补角) 即为 AB 与 PC 所12 12成的角，在EFG 中，EG
9、 AB3，FG PC4，EF 5，所以12 12EGF90.二、填空题5如图正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，与 AD1 异面且与 AD1 所成的角为 90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线) 共有_条答案 1解析 与 AD1 异面的面对角线分别为：A 1C1，B 1C，BD，BA 1，C 1D，其中只有 B1C和 AD1 所成的角为 90.6如图所示，E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、BC 、CD、DA 的中点，若 BD 2，AC4，则四边形 EFGH 的周长为_.答案 6解析 Error!EH FG BD1，12同理 EFGH AC2，12四边形 E
10、FGH 的周长为 6.三、解答题7如图，在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E、F 分别是 AB、CD 的中点，若EF ，求异面直线 AD、BC 所成角的大小3解析 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM、FM.因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点，所以 EM 綊 AD，FM 綊 BC，则EMF 或其补12 12角就是异面直线 AD、BC 所成的角ADBC2，所以 EMMF1，在等腰MEF 中，过点 M，作 MHEF 于 H，在 Rt MHE 中，EM 1，EH EF ，12 32则 sinEMH ，于是EMH60 ，32则EMF 2 FMH120.所以异面直线 AD、BC 所成的角为
11、EMF 的补角，即异面直线 AD、BC 所成的角为60.8如图，两个三角形 ABC 和 ABC的对应顶点的连线 AA，BB，CC 交于同一点 O，且 .AOOA BOOB COOC 23(1)求证：ABAB，AC AC，BCBC；(2)求 的值S ABCS A B C分析 用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似解析 (1)证明：因为 AA与 BB交于点 O，且 ，所以AOOA BOOB 23AB AB .同理 ACAC ，BC BC.(2)解：因为 ABAB，AC AC，且 AB 和 AB，AC 和 AC方向相反所以BACBA C .同理ABCABC，所以ABCAB C ，且 .ABA B AOOA 23所以 ( )2 .SABCSA B C 23 49点评 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证明三角形相似解答时要注意角的两边是否平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回答时要作出说明
