1、专训 1 圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要体现在：利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用圆的知识解决实际问题等；其中涉面积的计算，常采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉实际应用计算常采用建模思想进行计算有关角度的计算1 【中考娄底】如图，在 O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37 ，求ADC 的度数(第 1 题)半径、弦长的计算2 【中考南京】如图，在 O 中，C
2、D 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB 2 cm，BCD2230，则O 的半径为_cm.2(第 2 题)3如图，已知O 中直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D，OD30 cm .求直径 AB 的长(第 3 题)面积的计算利用“作差法”求面积技 巧 14 【2015丽水 】如图，在 ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC交于点 D，E，过点 D 作O 的切线 DF，交 AC 于点 F.(1)求证：DFAC；(2)若O 的半径为 4，CDF22.5，求阴影部分的面积(第 4 题)利用“等积法”求面积技
3、巧 25如图所示，E 是半径为 2 cm 的O 的直径 CD 延长线上的一点，ABCD 且 ABCD，求阴影部分的面积12(第 5 题)利用“平移法”求面积技 巧 36如图所示，两个半圆中，O 为大半圆的圆心，长为 18 的弦 AB 与直径 CD 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第 6 题)利用“割补法”求面积技 巧 47如图所示，扇形 OAB 与扇形 OCD 的圆心角都是 90，连接 AC，BD. 来源:gkstk.Com(1)求证：AC BD；(2)若 OA2 cm，OC1 cm，求图中阴影部分的面积(第 7 题)实际应用的计算利用垂径定理解决台风问题应 用 18如图
4、，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 km/h，受影响区域的半径为 200 km，B 市位于点 P 北偏东 75的方向上，距离 P 点 320 km处 来源:学优高考网(1)试说明台风是否会影响 B 市；(2)若 B 市受台风的影响，求台风影响 B 市的时间(第 8 题)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想) 来源:学优高考网应 用 29如图所示，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同伴队员乙已经助攻冲到 B 点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门从射门角度考
5、虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第 9 题)利用直线与圆的位置关系解决范围问题应 用 310如图，已知 A，B 两地相距 1 km.要在 A，B 两地之间修建一条笔直的水渠 (即图中的线段 AB)，经测量在 A 地的北偏东 60方向，B 地的北偏西 45方向的 C 处有一个以 C为圆心，350 m 为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第 10 题)利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题应 用 411如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为 20 cm，高为 40 cm 的2圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计) ，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形
6、铁皮，才能使所用材料最省？(第 11 题)答案1(1)证明：AB ，CD 是直径，ADBCBD90.在 RtABD 和 RtCDB 中，AB CD，BD DB.)Rt ABDRtCDB(HL)(2)解：BE 是O 的切线，ABBE.ABE90.DBE37，ABD53.ODOA，ODABAD905337.即ADC 的度数为 37.22 点拨：如图，连接 OB，BCD2230，BOD2BCD45.AB CD， BEAE AB 2 (cm)，BOE 为等腰直角三角形，12 12 2 2OB BE 2 cm，故答案为 2.2(第 2 题)(第 3 题)3解：如图，连接 OC.A30 ，COD60.DC
7、 切O 于 C，OCD90.D30.OD30 cm，OC OD15 cm .12AB2OC 30 cm .(第 4 题)4(1)证明：如图，连接 OD，OBOD，ABCODB.ABAC ，ABCACB.ODBACB.ODAC.来源:gkstk.ComDF 是O 的切线， DF OD.DFAC.(2)解：如图，连接 OE，DFAC ， CDF22.5 ，ABCACB67.5.BAC45.OAOE ， OEABAC45.AOE 90.O 的半径为 4，S 扇形 AOE4，S AOE 8.S 阴影 S 扇形 AOES AOE 48.5解：如图，连接 OA，OB.ABCD ，S ABE S AOB ，
8、S 阴影 S 扇形 OAB.AB CDAOOB 2 cm，12OAB 是等边三角形，AOB60.S 扇形 OAB (cm2)6022360 23(第 5 题)即阴影部分的面积为 cm2.23点拨：本题利用AEB 的面积等于AOB 的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用(第 6 题)6解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积作 OEAB 于 E(易知 E 为切点) ，连接 OA，AE AB9.12阴影部分的面积 OA2 OE2 (OA2OE 2) AE2 92 .12 12 12 12 12 812点拨：观察图形可知阴影部分的面积
9、等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积7(1)证明：AOB COD 90，即AOCAODBODAOD，AOCBOD.又AOBO，CODO，AOCBOD. ACBD.(2)解：由(1)知AOCBOD，阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD的面积则 S 阴影 (cm2)90OA2360 90OC2360 90（OA2 OC2）360 90（22 12）360 34点拨：本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式(第 8 题)8解：(1
10、)如图，过 B 作 BHPQ 于 H，在 RtBHP 中，由条件易知：BP 320 km，BPQ30.BH BP160 kmA.又PCQB ，BA. 在 B 点射门比在 A 点射门好选择射门方式二较好点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题(第 10 题)10解：修建的这条水渠不会穿过公园理由：如图，过点 C 作 CD AB，垂足为 D.由题易得CBA45 ，BCD45.CDBD.设 CDx km，则 BDx km .由题易得CAB30 ，AC2CD 2x km ，AD x(km)，（2x）2 x2 3 xx1.解得 x .33 12即
11、CD 0.366(km )366 m 350 m ，3 12也就是说，以点 C 为圆心，350 m 为半径的圆与 AB 相离修建的这条水渠不会穿过公园11解：圆锥形漏斗的底面半径为 20 cm，高为 40 cm，2圆锥的母线长为 60(cm) 202 （402）2设圆锥的侧面展开图的圆心角为 n，则有 220，解得 n120.n60180方案一：如图，扇形的半径为 60 cm，矩形的宽为 60 cm，易求得矩形的长为 60 3cm.当 AB60 cm，BC 60 cm 时，S 矩形 ABCD3 600 cm2.来源:学优高考网3 3方案二：如图，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为 60 cm，长为 306090(cm )，此时矩形的面积为 90605 400( cm2)3 600 5 400，3方案二所用材料最省即选长为 90 cm，宽为 60 cm 的矩形铁皮，才能使所用材料最省(第 11 题)
