1、第 2 课时 三角形中的几何计算1.已知ABC 中,B=45,C=60,c=1,则最短边的长等于( )A. B. C. D.解析:A=180-(60+45)= 75,B 最小.故边 b 最短.由正弦定理得 b= sin B= .故选 A.答案:A2.在ABC 中,A=60,AB=2,且ABC 的面积 SABC = ,则边 BC 的长为( )A. B.3 C. D.7解析:S ABC = ABACsin A= ,AC=1.由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+1-221cos 60=3,即 BC= .答案:A3.在ABC 中,a= ,b=1,B=30,则ABC 的面积
2、 S 为( )A. B. C. D.解析:由正弦定理 ,得 sin A= ,所以 A=60或 A=120.当 A=60时,C=90,S= ;当 A=120时,C=30,S= absin C= 1sin 30= .答案:D4.在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,如果 2b=a+c,B=30,ABC 的面积为 ,则 b 等于( )A.1+ B. C. D.2+解析:由 acsin 30= ,得 ac=6,由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac- ac=4b2-12-6 ,得 b= +1.答案:A5.在ABC 中,AC= ,BC=2,B=60,
3、则 BC 边上的高等于( )A. B. C. D.解析:在ABC 中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 7=AB2+4-22AB .整理得 AB2-2AB-3=0.解得 AB=-1(舍去)或 AB=3.故 BC 边上的高 AD=ABsin B=3sin 60= .答案:B6.已知 a,b,c 是ABC 的三边,其面积为 (a2+b2-c2),则 C= . 解析:由三角形的面积公式得 absin C= (a2+b2-c2),所以 sin C= =cos C.所以 tan C=1,所以 C= .答案:7.在ABC 中,BC=2,B= ,当ABC 的面积等于 时,si
4、n C= . 解析:由三角形的面积公式 S= ABBCsin ,易求得 AB=1,由余弦定理得 AC= ,再由三角形的面积公式 S= ACBCsin C= ,即可得出 sin C= .答案:8.在ABC 中,AB=4,AC=7,BC 边上的中线 AD= ,则 BC= . 解析:设 BC=2x,则 BD=DC=x,由余弦定理得,解得 x2= ,x= .BC=2x=9.答案:99.已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= asin C-ccos A.(1)求 A;(2)若 a=2,ABC 的面积为 ,求 b,c.解:(1)由 c= asin C-ccos A 及正弦定理得sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于 sin C0,所以 sin .又 00,故 cos B= ,所以 B=45.
