1、4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系A 组1.直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系是( )A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定解析:直线 y=kx+1 过点(0,1),且该点在圆 x2+y2=4 内,所以直线与圆相交.答案:C2.圆 x2+y2-2x+4y-20=0 截直线 5x-12y+c=0 所得的弦长为 8,则 c 的值是( )A.10 B.10 或- 68 C.5 或- 34 D.-68解析:由题意得圆心(1,-2), 半径 r=5,圆心到直线 5x-12y+c=0 的距离 d= .又 r2=d2+ ,所以 25= +16,解得 c=10 或-6
2、8.答案:B3.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1解析:设圆心 C(a,b),半径 r=1,由于圆心在第一象限,且与 x 轴相切,则 b=r=1,则 C(a,1),圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d= =r=1,解得 a=2 或 a=- (舍去),则该圆的标准方程是( x-2)2+(y-1)2=1.答案:A4.经过点 P(2,-1),且被圆 C:x2+y2-6x-2y-15=0
3、 所截得的弦最短时的直线 l 的方程为( )A.2x-y-6=0 B.2x+y-6=0C.x+2y=0 D.x-2y=0解析:圆的方程为(x-3) 2+(y-1)2=25,圆心 C(3,1),故点 P 在圆内.当 CPl 时,弦长最短.又 kCP= =2, kl=- . 直线 l 的方程为 y+1=- (x-2),即 x+2y=0.答案:C5.由直线 y=x-1 上的一点向圆 C:x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为 ( )A.1 B. C. D.2解析:在直线 y=x-1 上取一点 P,过 P 向圆引切线,设切点为 A.连接 CA.在 RtPAC 中,|CA|=r=1.要使
4、|PA|最小,则|PC|应最小.又当 PC 与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为 =1.答案:A6.已知直线 ax-by+c=0(abc0)与圆 O:x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形形状为 . 解析:由题意得,圆心 O(0,0)到直线 ax-by+c=0(abc0)的距离 d= =1,则 a2+b2=c2,故所求三角形是直角三角形.答案:直角三角形7.设直线 2x+3y+1=0 和圆 x2+y2-2x-3=0 相交于点 A,B,则弦 AB 的垂直平分线的方程是 .解析:易知所求直线过圆心且与 AB 垂直,圆心坐标为(1,0) .设所求
5、直线方程为 3x-2y+c=0,则 31-20+c=0,c=-3.即所求直线方程为 3x-2y-3=0.答案:3x- 2y-3=08.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 l:x+y+1=0 的距离为 的点的个数是 . 解析:圆的方程化为标准方程为(x+ 1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,- 2),圆半径为 2 ,圆心到直线l 的距离为 .因此和 l 平行的圆的直径的两端点及与 l 平行的圆的切线的切点到 l 的距离都为 .答案:39.已知直线 l 过点(-2,0), 当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时 ,求直线 l 斜率 k 的取值范围.解:圆心坐标是(1,0),
6、圆的半径是 1,设直线方程是 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得 0). 圆心在直线 2x+y=0 上, b=-2a,即圆心为(a,-2a) .又 圆与直线 x-y-1=0 相切,且过点(2,-1), =r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2,即(3a-1) 2=2(2-a)2+(-1+2a)2,解得 a=1 或 a=9, a=1,b=-2,r= 或 a=9,b=-18,r=13.故所求圆的方程为(x-1) 2+(y+2)2=2 或(x-9) 2+(y+18)2=338.B 组1.圆心坐标为(2,- 1)的圆在直线 x-y-1=0 上截得的弦长为 2 ,那么这
7、个圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x-2)2+(y+1)2=8 D.(x-2)2+(y+1)2=16解析:圆心到直线的距离 d= .R2=d2+( )2=4, R=2.答案:A2.如果 a2+b2= c2,那么直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是 ( )A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切解析:圆的半径 r=1,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= 1.答案:C3.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C的方程为 . 解
8、析:令 y=0,得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为( -1,0),即为圆心.因为直线x+y+3=0 与圆相切 ,所以圆心到直线 x+y+3=0 的距离等于半径 ,即 r= ,所以圆 C 的方程为 (x+1)2+y2=2.答案:(x+ 1)2+y2=24.过点( -1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 ,则直线 l 的斜率为 .解析:由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为 k,则直线方程为 y+2=k(x+1),又圆的方程可化为( x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为 1, 圆心到直线的距离 d= ,解得 k=1 或
9、 .答案:1 或5.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线( x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 .解析:数形结合的方法.如图所示,CAB=BAD= 30, 直线 l 的倾斜角 的取值范围为0,30 150,180). 直线 l 的斜率的取值范围为 .答案:6.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点 P(2,-1)作圆 C 的切线,切点为 A,B.求:(1)直线 PA,PB 的方程;(2)过 P 点的圆 C 的切线长.解:(1)切线的斜率存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0.圆心到直线的距离等于 ,即 , k2-6k-7=0,
10、解得 k=7 或 k=-1,故所求的切线方程为 y+1=7(x-2)或 y+1=-(x-2),即 7x-y-15=0 或 x+y-1=0.(2)在 RtPAC 中,PA 2=PC2-AC2=(2-1)2+(-1-2)2-2=8, 过 P 点的圆 C 的切线长为 2 .7.已知圆 C 的方程为 x2+y2=4.(1)求过点 P(1,2),且与圆 C 相切的直线 l 的方程;(2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=2 ,求直线 l 的方程.解:(1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1),则由 =2,得 k1=0,k2=- ,故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y-10=0.(2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, )和(1,- ),这两点的距离为 2 ,满足题意;当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d,则 2 =2 , d=1, 1= , k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0.综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1.
