1、第一章测评 A(基础过关卷)(时间:90 分钟 满分:100 分 )一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC 中,a=4,b=4 ,A=30,则角 B 等于( )A.30 B.30或 150C.60 D.60或 120解析:根据正弦定理得,sin B= .ba,BA=30,B=60 或 120.答案:D2.在ABC 中,已知 b= ,c=1,B=45,则 a 等于( )A. B.C. +1 D.3-解析:由 b2=a2+c2-2accos B,得 2=a2+1-2acos 45,解得 a= 或 a= (舍
2、去) .答案:B3.如图,在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30,60,则塔高为( )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米解析:由题意,可知BAC=30,OAC= ACB=30, AC= .又 B=120,在 ABC 中,由正弦定理 ,得BC= (米).答案:A4.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C=( )A. B.- C. D.解析:由正弦定理得 ,将 8b=5c 及 C=2B 代入得 ,化简得,则 cos B= .所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1=2 -1= ,故选 A.答案:A
3、5.在ABC 中,b=asin C,c=acos B,则 ABC 一定是( )A.等腰三角形,但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形,但不是等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由 c=acos B 得,c=a ,a 2=b2+c2,ABC 为直角三角形 ,b=asin C=a =c,ABC 是等腰直角三角形.答案:D6.ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b2=ac,a+c=3,cos B= ,则 等于( )A. B.- C.3 D.-3解析:由余弦定理得 cos B= ,解得 b2=2,ac=b 2=2. =accos(-B)=-2cos B=- .答案:B7.
4、在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= bc,sin C=2 sin B,则 A 等于( )A.30 B.60 C.120 D.150解析:利用正弦定理,sin C= 2 sin B 可化为 c=2 b,所以 cos A= ,所以 A=30.答案:A8.已知ABC 的三边分别为 a,b,c,且 a=1,B=45,SABC=2,则 ABC 的外接圆的直径为( )A.4 B.5 C.5 D.6解析:S ABC= acsin B,c=4 .由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=25,b=5.由正弦定理 2R= =5 (R 为 ABC 外接圆的半径) .答
5、案:C9.已知锐角三角形的边长分别为 2,4,x,则 x 的取值范围是( )A.10),则 a2+b2=c2,新三角形的三边分别为 a+d,b+d,c+d,设它们所对的角分别为 A,B,C.则 cos C= .(a+d )2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)d0.cos C0,C 为锐角.又 C 是最大角,所以新的三角形是锐角三角形 .答案:A二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.在ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b= . 解析:b+c=7,c=7-b.由余弦定理得 b2=a2+c2-2acco
6、s B,即b2=4+(7-b)2-22(7-b) ,解得 b=4.答案:412.在ABC 中,BC=1,B= ,当 ABC 的面积等于 时,sin C= . 解析:设 AB=c,AC=b,BC=a,则ABC 的面积 S= acsin B= ,解得 c=4,所以 b= .所以 cos C= =- .所以 sin C= .答案:13.在ABC 中,BC=3,AB=2,且 +1),则 A= . 解析:由 a=3,c=2,且 ,知 b= -1.cos A= =- .A=120.答案:12014.在ABC 中,a=14,A=60,bc= 85,则该三角形的面积为 . 解析:设另两边长分别为 8x 和 5
7、x,则cos 60= ,解得 x=2,所以 b=16,c=10.S ABC= bcsin A= 1610sin 60=40 .答案:4015.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行 ,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60方向,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15方向,这时船与灯塔的距离为 km. 解析:如图,由已知条件,得 AC=60 km,BAC=30,ACB=105, ABC=45 .由正弦定理得 ,即 BC= sinBAC= sin 30=30 (km).答案:30三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
8、)16.(6 分) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求 C.解:由 B=-(A+C),得 cos B=-cos(A+C).于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C.由已知得 sin Asin C= .由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C.由得 sin2C= ,于是 sin C=- (舍去)或 sin C= .又 a=2c,所以 C= .17.(6 分) 在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= acos B.(1)求角
9、 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.解:(1)由 bsin A= acos B 及正弦定理 ,得 sin B= cos B,所以 tan B= ,所以 B= .(2)由 sin C=2sin A 及 ,得 c=2a.由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 9=a2+c2-ac.所以 a= ,c=2 .18.(6 分) 在锐角ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 a=2csin A.(1)确定角 C 的大小;(2)若 c= ,且 ABC 的面积为 ,求 a+b 的值.解:(1)由 a=2csin A 及正弦定理
10、,得 .sin A0,sin C= .ABC 是锐角三角形,C= .(2)c= ,C= ,由面积公式得 absin ,即 ab=6.由余弦定理得 a2+b2-2abcos =7,即 a2+b2-ab=7.由变形得(a+b) 2=3ab+7.将代入得(a+b) 2=25,故 a+b=5.19.(7 分) 在海港 A 正东 39 n mile 处有一小岛 B,现甲船从 A 港出发以 15 n mile/h 的速度驶向B 岛,同时乙船以 6 n mile/h 的速度向北偏西 30的方向驶离 B 岛,不久之后,丙船则向正东方向从 B 岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东 60
11、方向,问此时甲、丙两船相距多远?解:设在行驶 t h 后,甲船到达 C 处,乙船到达 D 处,丙船到达 E 处,此时甲、乙两船相距最近,依题意得:CD 2=CB2+BD2-2CBBDcos 60=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1 404t+1 521=351(t-2)2+117,所以,当 t=2 时,CD 2 最小,即 CD 取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,作 DFAB,则BDF=30,DBE=120,所以BDE= 30,DEB=180-120-30=30, 故BDE 为等腰三角形.所以,BE=BD= 6t=62=12(n mile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-152=21(n mile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距 21 海里.
