1、3.3 几何概型3.3.1 几何概型【明目标、知重点】1了解几何概型的定义及其特点2了解几何概型与古典概型的区别3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率【填要点、记疑点】1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果( 基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等3几何概型的概率公式P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 【探要点、究所然】情境
2、导学 在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题探究点一 几何概型的概念思考 1 计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？ 答 (1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算思考 2 某班公交车到终点站的时间可能是 11：3012：00 之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上这两个试验可能出现的结果是有限个，还
3、是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答 出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的思考 3 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向 B 区域时，甲获胜，否则乙获胜你认为甲获胜的概率分别是多少？答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为 ；以转盘 (2)为游戏工具时，甲获胜的12概率为 .35思考 4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积) 和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？答 与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关思考 5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何
4、概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等思考 6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概型是古典概型，还是几何概型(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4 点”的概率；(2)思考 3 中，求甲获胜的概率
5、解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有 6636 种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分” ，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型跟踪训练 1 判断下列试验是否为
6、几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率(2)设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，求弦长超过半径的概率解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性探究点二 几何概型的概率公式问题 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？思考 1 有一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1 m 的概率是多少？你是怎样计算的？答 从每一个位置剪断都是一个基本事件
7、，剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点如上图，记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生由于中间一段的长度等于绳长的 ，13于是事件 A 发生的概率 P(A) .13思考 2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心” 奥运会射箭比赛的靶面直径是 122 cm，黄心直径是 12.2 cm，运动员在距离靶面 70 m 外射箭假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？答 如右图，由于中靶点随机地落在面积为 1222 cm2 的大圆内，14若要
8、射中黄心，则中靶点落在面积为 12.22 cm2 的圆内，14所以 P 0.01.1412.22141222思考 3 在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出 1 升水，那么这 1 升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？答 概率为 ，由于病毒在 5 升水中的哪个位置的可能性都有，1 升水中含有病毒的概15率为 1 升水的体积除以 5 升水的体积思考 4 根据上述 3 个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件 A 发生的概率的计算公式吗？答 P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长
9、度 面 积 或 体 积 例 2 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过 6 分钟的概率解 如下图所示，设上辆车于时刻 T1 到达，而下辆车于时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 10，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 TT2 的长为 6，记“等车时间不超过 6 分钟”为事件 A，则事件 A 发生即当点 t 落在线段 TT2 上，即 DT 1T210，dTT 26.所以P(A) .dD 610 35故乘客候车时间不超过 6 分钟的概率为 .35反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法利用图解题的关键：首先用图形
10、准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积) ，用几何概型概率公式求出事件 A 的概率跟踪训练 2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10 分钟的概率解 记“等待的时间小于 10 分钟”为事件 A，打开收音机的时刻位于50,60时间段内则事件 A 发生由几何概型的概率公式求得 P(A) ，60 5060 16即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 .16探究点三 几何概型的应用例 3 在 RtABC 中，A30，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于
11、 M，求使|AM|AC|的概率解 设事件 D 为“作射线 CM，使 |AM|AC|”在 AB 上取点 C使|AC| |AC |，因为ACC 是等腰三角形，所以ACC 75，180 302A907515， 90，所以 P(D) .1590 16反思与感悟 几何概型的关键是选择“测度” ，如本例以角度为“测度” 因为射线CM 落在ACB 内的任意位置是等可能的若以长度为“测度” ，就是错误的，因为M 在 AB 上的落点不是等可能的跟踪训练 3 在ABC 中，B60，C45 ，高 AD ，在BAC 内作射线 AM 交3BC 于点 M，求 BM1 的概率解 B60，C45 ，BAC75，在 Rt AD
12、B 中，AD ， B60，3BD 1，BAD 30.ADtan 60记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1”，则可得BAM BAD 时事件 N 发生由几何概型的概率公式得 P(N) .3075 25【当堂测、查疑缺】1下列关于几何概型的说法错误的是 ( )A几何概型也是古典概型中的一种B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案 A解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型2面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD 内的概率为 ( )A.
13、 B. C. D.13 12 14 16答案 B解析 向ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型设点落在ABD 内为事件 M，则 P(M) . ABD的 面 积 ABC的 面 积 123ABCD 为长方形，AB 2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. B14 4C. D18 8答案 B解析 若以 O 为圆心，1 为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的距离小于或等于 1，故所求事件的概率为 P(A) 1 .S长 方 形 S半 圆S长 方 形 44在区间1,1上随机取一个数 x，则 sin 的值介于 与 之间的概率为x4 12 22_答案 56解析 1x1， .4 x4 4由 sin ，得 ，12 x4 22 6 x4 4即 x1.23故所求事件的概率为 .1 232 56【呈重点、现规律】1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型2几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目3注意理解几何概型与古典概型的区别4理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积
