1、专训 1 解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形已知两直角边解直角三角形1如图，在 RtABC 中， C90，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，a 2， b 6，解这个直角三角形3(第 1 题)已知一直角边和斜边解直角三角形2如图，ACB90 ，AB13，AC12，BCM BAC，求 sin BAC 的值和点 B 到直线 MC 的距离(第 2 题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3如图，在AB
2、C 中，B90，C 30，AB3.(1)求 AC 的长；(2)求 BC 的长(第 3 题)4如图，在 RtABC 中， C90，A30，BC3，D 为 AC 边上一点，BDC45，求 AD 的长(第 4 题)已知斜边和一锐角解直角三角形5如图，在 RtABC 中， C90，B45 ，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，c10，解这个直角三角形(第 5 题)来源:学优高考网 gkstk6.如图，在ABC 中，C 90，B 30，AD 是BAC 的平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB4 ，求 AD 的长3(第 6 题)来源:学优高考网 gkstk已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值) 解
3、直角三角形化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)题 型 1：7如图，在ABC 中，点 D 是 AB 的中点，DCAC，且 tan BCD ，求A 的13三角函数值(第 7 题)来源:学优高考网化解四边形问题为解直角三角形问题题 型 2：8 【中考北京】如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，BAC90，CED45， DCE30 ， DE ，BE 2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积2 2(第 8 题)来源:gkstk.Com化解方程问题为解直角三角形问题来源:学优高考网 gkstk题 型 3：9已知 a，b，c 分别是ABC 中A ，B，C 的对边，关于 x
4、的一元二次方程a(1x 2)2bxc(1x 2)0 有两个相等的实数根，且 3c a3b.(1)判断ABC 的形状；(2)求 sin Asin B 的值答案1解：a2 ，b6，3c 4 .a2 b2 12 36 48 3tan A ，A 30 ，B60.ab 236 332解：AB13，AC12，ACB90，BC 5.AB2 AC2 169 144 25sin BAC .过点 B 作 BDMC 于点 D.BCAB 513设点 B 到直线 MC 的距离为 d，则 BDd，BCM BAC，sin BCMsin BAC.sin BCM ，dBC 513即 ，d .d5 513 2513即点 B 到直
5、线 MC 的距离为 .25133解：(1)由题意知 sin C ，即 ，则 AC6.ABAC 12 3AC(2)由题意知 tan C ，即 ，则 BC3 .ABBC 33 3BC 34解：C90 ，BDC45 ，BC3，CD3.A30，BC3，tan A ，即 AC3 .BCAC 3AC 33 3ADACCD3 3.35解：B45 ，C90，A45. ab.sin A ，c10，a 10sin 455 .ac 2b5 .26解：C90 ，B30，AB4 ，3CAB60，ACABsin 304 2 .312 3又AD 是BAC 的平分线，CAD30.cos CAD ，AD4.ACAD 23AD
6、327解：过点 D 作 CD 的垂线交 BC 于点 E，如图在 RtCDE 中，tan BCD ，可设 DEx，则 CD3x.13 DECDCDAC ，DEAC.又点 D 为 AB 的中点，点 E 为 BC 的中点DE AC.12AC2DE2x.在 RtACD 中，ACD90，AC2x，CD3x，AD x.AC2 CD2 4x2 9x2 13sin A ，CDAD 3x13x 31313cos A ，ACAD 2x13x 21313tan A .CDAC 3x2x 32方法技巧：本题中出现了 tan BCD ，由于BCD 所在的三角形并非直角三角形，13因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的
7、直角三角形进行求解(第 7 题)(第 8 题)8解：如图，过点 D 作 DHAC 于点 H.CED45，DHEC，DE ，2EHDEcos 45 1，DH1.222又DCE30，HC ，CD 2.DHtan 30 3 DHsin 30AEB45，BAC90，BE2 ，2ABAE2，ACAEEHHC21 3 ，3 3S 四边形 ABCD 2(3 ) 1(3 ) .12 3 12 3 33 92方法技巧：题目中所给的有直角和 30，45 角，因此我们可以通过构造直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形 ABCD 的面积9解：(1)将方程整理，得(ca)x 22bx(ac)0，则 (2b)24(ca)(ac)4(b 2a 2c 2)方程有两个相等的实数根，0，即 b2a 2c 2.ABC 为直角三角形(2)由 3ca3b，得 a3c 3b.将代入 a2b 2c 2，得(3c 3b)2b 2c 2.4c 29bc5b 20，即(4c 5b)(cb) 0.由可知，bc，4c 5b.b c.45将代入，得 a c.35在 RtABC 中，sin Asin B .ac bc 35 45 75点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于 a，b，c的等式从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值
