1、滚动小专题（八） 圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.例 (2014江西)如图 1，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB4，BC2 ，P 是O 上半部分的一个动点，连接 OP，CP.(1)求OPC 的最大面积；(2)求OCP 的最大度数；(3)如图 2，延长 PO 交O 于点 D，连接 DB.当 CPDB 时，求证：CP 是O 的切线.【思路点拨】(1)当 OPOC 时OPC 的面
2、积最大，利用已知条件即可求出OPC 的最大面积；(2)当 PC 与O 相切时OCP 的度数最大，利用三角函数可求出OCP 的最大度数；(3)连接 AP，BP，由圆的有关知识可得OPCPBD，从而得出OPCPBD，继而可证得结论【解答】(1) OPC 的边长 OC 的是定值，当 OPOC 时，OC 边上的高为最大值，此时OPC 的面积最大.AB 4，BC 2，OPOB2，OCOB+BC4.S OPC OCOP 424,1即OPC 的最大面积为 4.(2)当 PC 与O 相切，即 OP PC 时，OCP 的度数最大.在 Rt OPC 中，OPC90，OC 4 ，OP2 ，sinOCP ，OCP30
3、.PC12(3)证明：如图 2，连接 AP，BP.AOPDOB ，APDB.CP DB，APPC， AC.AD，CD.OC PD4，PC BD， OPCPBD，OPCPBD.PD 是 O 的直径，PBD90，OPC90，OPPC.又OP 是O 的半径，CP 是O 的切线.方法归纳：与圆有关的计算和证明通常都与切线有关，切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键.1.(2014黄石)如图，A 、B 是圆 O 上的两点，AOB=120，C 是 AB 弧的中点.(1)求证：AB 平分OAC；(2)延长 OA 至 P 使得 OA=AP，连接 PC，若圆 O 的半径 R=1，求 PC 的长.2.(201
4、4昆明)如图，在ABC 中，ABC=90，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A=2 1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D.(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若A=60，O 的半径为 2，求阴影部分的面积.(结果保留根号和 )3.(2014东营)如图，AB 是O 的直径，OD 垂直于弦 AC 于点 E，且交O 于点 D，F 是 BA 延长线上一点，若CDB=BFD.(1)求证：FD 是O 的一条切线；(2)若 AB=10，AC=8，求 DF 的长.来源:学优高考网 gkstk4.(2013丽水)如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=54，以 AB 为直径的O
5、分别交 AC、BC 于点 D、E ，过点 B 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F.(1)求证：BE=CE ；(2)求CBF 的度数；(3)若 AB=6，求 的长.AD5.(2014临沂)如图，已知等腰三角形 ABC 的底角为 30，以 BC 为直径的O 与底边 AB 交于点 D，过 D 作DEAC，垂足为 E.(1)证明：DE 为O 的切线；(2)连接 OE，若 BC=4，求OEC 的面积.来源:gkstk.Com来源:学优高考网6.(2013泸州)如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA= CBD.（1 ）求证：CD 2=CACB；（2 ）求证：CD 是O
6、的切线；（3 ）过点 B 作 O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12，tanCDA= .求 BE 的长.来源:学优高考网 gkstk23参考答案1.(1)证明：连接 OC.AOB=120，C 是 AB 弧的中点，AOC= BOC=60.OA=OC，ACO 是等边三角形 .OA=AC.同理 OB=BC.OA=AC=BC=OB.四边形 AOBC 是菱形.AB 平分 OAC.(2)C 为弧 AB 中点，AOB=120，AOC=60.OA=OC，OAC 是等边三角形 .OA=AC，AP=AC.APC=30.OPC 是直角三角形.PC= OC= .32.(1)证明： OD=OB ，1=OD
7、B ，DOC= 1+ODB=21.又A=21 ， DOC= A.来源:学优高考网A+C=90，DOC+C=90，OD DC.AC 是O 的切线.(2)A=60，C=30 ，DOC=60.在 Rt DOC 中， OD=2，CD= OD=2 .3阴影部分的面积=S COD -S 扇形 DOE= 22 - =2 - .1260333.(1)证明： CDB=CAB ，CDB=BFD，CAB= BFD，FD AC.AEO=90，FDO=90，FD 是O 的一条切线.(2)AB=10，AC=8，DOAC，AE=EC=4，AO=5，EO=3.AEFD，AEOFDO. = . = ，解得 FD= .AEFD3
8、54F2034.(1)证明：连接 AE，AB 是 O 的直径，AEB=90，即 AEBC.又AB=AC ，BE=CE.(2)BAC=54，AB=AC，ABC=63.又BF 是O 的切线，ABF=90，CBF=ABF-ABC=27 .(3)连接 OD.BAC=54，BOD=108，AOD=72 .又AB=6 ，OA=3. = = .AD723180655.(1)证明：连接 OD，CD.BC 为 O 直径，BDC=90，即 CDAB.ABC 是等腰三角形， AD=BD.OB=OC，OD 是ABC 的中位线.ODAC.DE AC，OD DE.D 点在O 上，DE 为O 的切线.(2)A=B=30，B
9、C=4，CD= BC=2，BD=BCcos30=2 .123AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，3S ABC= ABCD= 4 2=4 .DE AC，DE= AD= 2 = ，13AE=ADcos30=3.S ODE= ODDE= 2 = ，2S ADE= AEDE= 3= .13S BOD= SBCD = SABC =144 = ，13S OEC=SABC -SBOD -SODE -SADE =4 - - - = .236.(1)证明： CDA=CBD ，C= C ，CAD CDB, = .DBACD 2=CACB.(2)证明：连接 OD，AB 是 O 的直径，ADB=90 .OB=OD，OBD= ODB.OBD=CDA，CDA=ODB.ODC= ADB=90,CD 是O 的切线.(3)tanCDA= ，tanCBD= .2323在 Rt ABD 中，tanCBD= = ，ADB由(1)得CAD CDB， = = .CCD=8. 设 BE=x，则 DE=x，由勾股定理得 x2+122=(x+8)2.解得 x=5，即 BE=5.
