1、第 14 讲 二次函数的实际应用考点 1 实物抛物线步骤 建立平面直角坐标系；利用 法确定抛物线的解析式；利用二次函数的性质解决实际问题.常见类型 桥梁、隧道、体育运动等【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.考点 2 二次函数在销售问题中的应用步骤 读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找 ；确定函数解析式；确定二次函数的 ，解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.考点 3 二次函数在面积问题中的应用步骤 根据几何知识探求图形的 ；根据面积关系式确定函数解析式；确定二次函数的 ，解决问题.考点 4 灵活选
2、用适当的函数模型步骤 由题目条件在坐标系中描出点的坐标；根据点的坐标判断 ；由 确定函数解析式；将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；利用所求函数的性质解决问题.【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.命题点 1 实物抛物线例 1 (2014盐城)如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方
3、2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m.(1)当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) ；(2)当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围.【思路点拨】(1)根据 h=2.6 和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令 x=9，求 y 值，若 y2.43，则球能过网，反之则不能.令
4、 y=0，求 x 值.若 x18，则球不出界，反之就会出界；或者令 x=18 求 y，若 y0 则出界，否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数 h 的形式.然后令 x=9 时 y2.43，且当 x=18 时 y0 ，从而确定 h 的取值范围.【解答】方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.1.(2013仙桃)2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度
5、y(米) 与水平距离 x(米)之间满足关系 y=- x2+ x+ ，则羽毛球飞出的水平距离为 米.98102.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE,ED,DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 .(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h(单位：米)随时间( 单位：时)的变化满足函数关系h=- (t-19)2+8(0t40)且当水面到顶点 C 的
6、距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时18段内，需多少小时禁止船只通行？命题点 2 二次函数在销售问题中的应用例 2 (2014滨州模拟)某商店经营一种小商品，进价为每件 20 元，据市场分析，在一个月内，售价定为 25 元时，可卖出 105 件，而售价每上涨 1 元，就少卖 5 件.(1)当售价定为每件 30 元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】(1)根据定价，算出对应销售量，然后求当月利润；(2)每月的销售利润=单件利润月销售量，得二次函数关系式，然后转化为顶点式求最大利润.【解答】方法归纳：本题最
7、后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为 x 元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.1.(2013衢州)某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橘子.设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多.2.某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件( 每件售价不能高于 72 元)，设每件商品的售价上涨 x 元(x 为整
8、数)，每个月的销售利润为 y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少 ?命题点 3 二次函数在面积问题中的应用例 3 (2013莆田)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 (花坛为轴对称图形). 矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长 AB=4 米，ABC=60.设 AE=x 米(0x4) ，矩形的面积为 S 米 2.(1)求 S 与 x 的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为 20 元米 2，黄色花草的价格为 40 元米
9、2.当 x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用( 结果保留根号).【思路点拨】(1)连接 AC，BD，根据轴对称的性质，可得 EHBD，EF AC ，BEF 为等边三角形，从而求出 EF.AC与 EH 交于 M，在 RtAEM 中求出 EM，继而得出 EH，这样即可得出 S 与 x 的函数关系式；(2)根据(1)的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为 W，则可得出 W 关于 x 的二次函数关系式，利用配方法求最值即可.【解答】方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意 x 的取值范围.1.小磊要
10、制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm) 的边与这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm 2)随 x(单位：cm)的变化而变化.(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式( 不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大? 最大面积是多少?来源:学优高考网2.(2013滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？( 材质及其厚度等暂忽略不计)命题点 4 灵活选用适
11、当的函数模型例 4 (2013武汉) 科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度 x/-4-20244.5植物每天高度增长量 y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？(3)如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250
12、 mm，那么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择？直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取 0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解答】方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.(2013乌鲁木齐)某公司销售一种进价为 20 元/ 个的计算器，其销售量 y(万个) 与销售价格 x(元/个) 的变化如下表：价格 x(元 /个)30405060 销售量 y(万个) 5432同时
13、，销售过程中的其他开支(不含进价) 总计 40 万元.(1)观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出 y(万个)与 x(元/个)的函数解析式；(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润 z(万元)与销售价格 x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于 40 万元，请写出销售价格 x(元/个) 的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线
14、y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4 米 B.3 米 C.2 米 D.1 米2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润 y 和月份 n 之间函数关系式为 y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5 月 B.6 月 C.7 月 D.8 月3.一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件.根据销售统计，一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5 元 B.10 元 C.0 元 D.3
15、600 元4.(2014株洲模拟)株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图 1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着 9 根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为 20 米，拱高(中柱)10 米，于是他建立如图 2 的坐标系，将余下的 8 根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是( )A.7 米 B.7.6 米 C.8 米 D.8.4 米5.（2013 山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB=36 m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距
16、离为 7 m，则 DE的长为 m.6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元) 与每件销售价 x(元)之间的关系满足 y=-2x2+80x+750，由于某种原因，售价只能满足 15x22，那么一周可获得的最大利润是 元.7.将一根长为 16 厘米的细铁丝剪成两段 ,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为 r1 和 r2.(1)求 r1 与 r2 的关系式 ,并写出 r1 的取值范围;(2)将两圆的面积和 S 表示成 r1 的函数关系式，求 S 的最小值 .来源:学优高考网 gkstk8.如图是一座桥,桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下
17、测得主拱宽 24 m，最高点离水面 8 m，以水平线 AB 为 x 轴，AB 的中点为原点建立坐标系.(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式；(2)桥边有一艘船, 浮在水面部分高 4 m，最宽处 12 m，试探索此船能否开到桥下?说明理由.29.(2014武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1x90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x(天 ) 1 x50 50 x90售价(元/件) x+40 90每天销量(件) 200-2x已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，每天销售
18、利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4 800 元？请直接写出结果.10.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成.已知墙长为 18 米( 如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米.(1)若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图象，直接写出 x 的取值范围.来源:gkstk.Com11.(2013
19、青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件.试营销阶段发现：当销售单价 25 元/ 件时，每天的销售量是 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件.(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3)商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每件文具的利润不低于 25 元且不高于 29 元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.参考答案考点解读待定系数 等量关系 最值 面积关
20、系式 最值 函数类型 待定系数法各个击破例 1 点(0，2)在 y=a(x-6)2+h 的图象上，2=a(0-6) 2+h，a= ，36h函数可写成 y= (x-6)2+h.(1)当 h=2.6 时， y 与 x 的关系式是y=- (x-6)2+2.6；160(2)球能越过球网，球会出界.理由：当 x=9 时，y=- (9-6)2+2.6=2.452.43，所以球能过球网；160当 y=0 时，- (x-6)2+2.6=0，解得 x1=6+2 18，x 2=6-2 (舍去) ，故球会出界.3939另解：当 x=18 时，y=- (18-6)2+2.6=0.20 ，所以球会出界.(3)由球能越过
21、球网可知，当 x=9 时，y= +h2.43， 4h由球不出边界可知，当 x=18 时，y=8-3h0， 来源:学优高考网由、知 h ，所以 h 的取值范围是 h .8383题组训练 1.52.(1)依题意有顶点的坐标为(0，11)，点的坐标为(8 ，8)，设抛物线解析式为 y=ax2+c，有解得8641.ac， 641.，抛物线解析式为 y= x2+11.3(2)令- (t-19)2+8=11-5，解得 t1=35，t 2=3.18因为- 0，所以当 335 时，水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35-3=32(时).答：禁止船只通行时间为 32 小时.
22、例 2 (1)获利：(30-20) 105-5(30-25)=800（元）.答：当售价定为 30 元时，一个月可获利 800 元；(2)设售价为每件 x 元时，一个月的获利为 y 元，由题意，得 y=(x-20)105-5(x-25)=-5x2+330x-4 600=-5(x-33)2+845，当 x=33 时，y 的最大值为 845，故当售价定为 33 元时，一个月的利润最大，最大利润是 845 元.题组训练 1.10 2.(1)根据题意，得 y=(60-50+x)(200-10x)，整理，得 y=-10x2+100x+2 000(0x12)；(2)由(1)得 y=-10x2+100x+2
23、000=-10(x-5)2+2 250，当 x=5，即每件商品的售价定为 65 元时利润最大，最大月利润为 2 250 元.例 3 (1)连接 AC，BD.AC 与 EH 的交点为 M.花坛为轴对称图形，EH BD ，EFAC.BEF BAC.ABC=60，ABC ，BEF 是等边三角形.EF=BE=AB-AE=4-x.在 Rt AEM 中， AEM= ABD=30，则 EM=AEcosAEM= x.32EH=2EM= x.S=EHEF= x(4-x).3即 S=- x2+4 x.(2)红色花草价格比黄色花草便宜，当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低.又S=- x2+4 x=- (x-2)2
24、+4 ，33当 x=2 时，S 最大 =4 .易得 S 四边形 ABCD=8 .3此时四个三角形的面积为 8 -4 =4 (米 2).最低总费用为：204 +404 =240 (元).3答：当 x=2 时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是 240 元.3题组训练 1.(1)S= x(40-x)=- x2+20x.12(2)S=- (x-20)2+200.即当 x=20 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 200 cm2.2.根据题意，得 y=20x( -x)，整理，得180y=-20x2+1 800x.y=-20x 2+1 800x=-20(x-45)2+40 500，-200，当 x
25、=45 时，函数有最大值，y 最大值 =40 500，即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3.例 4 (1)选择二次函数，因为当 x=0 时，y=49，所以 c=49.所以设 y=ax2+bx+49，得解得4294,1.ab1,2.aby 关于 x 的函数关系式是 y=-x2-2x+49.不选另外两个函数的理由：点(0，49)不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数；点(-4，41)，(-2，49) ，(2，41)不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数.(2)由(1)，得 y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.a=-10 ， 当 x=
26、-1 时，y 有最大值为 50，即当温度为-1 时，这种植物每天高度增长量最大.(3)10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250 mm，平均每天该植物高度增长量超过 25 mm，当 y=25 时，-x 2-2x+49=25，整理，得 x2+2x-24=0，解得 x1=-6，x 2=4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250 mm，实验室的温度应保持在-6 x4 .题组训练 (1)经描点、连线可知，表中的 y 与 x 之间的对应关系为一次函数关系，设 y=kx+b，由题意得解得305,4.kb0.,8ky 与 x 的函数解析式为 y=-0.1x+8.(2)由题意，得z=(x-
27、20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2+50，当 x=50 时， z 最大值 =50.即 z 与 x 的函数解析式为 z=-0.1x2+10x-200.销售价格定为 50 元时净得利润最大，最大值是 50 万元.(3)当 z=40 时，-0.1(x-50) 2+50=40.解得 x=40 或 60.又该公司要求净得利润不能低于 40 万元，40 x 60.又还需考虑销售量尽可能大，即 y 尽可能大，x 尽可能小，x=40.即销售价格 x(元/个)的取值范围是 40x60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为 40 元/个.
28、整合集训1.A 2.C 3.A 4.D 5.48 6.1 5507.(1)依题意得 2r 1+2r 2=16,化简得 r1+r2=8,0r18.(2)两圆面积和 S=r 12+r 22=(r 12+r22)=r 12+(8-r1)2=2(r 12-8r1+32)=2(r 1-4)2+16,当 r1=4 时，面积和有最小值 32 平方厘米.8.(1)设抛物线所对应的函数关系式为 y=ax2+8，又抛物线过点 (12，0)，0=a 122+8，故 a=- ，8所以抛物线的解析式为 y=- x2+8；1(2)当 x=6 时，代入抛物线的解析式为2y=- (6 )2+8,得 y=4，18所以从理论上讲
29、，此渔船刚好能驶入桥拱下纳凉.9.(1)2180 (150).9xxy，(2)当 1x50 时，y=-2x 2+180x+2 000=-2(x-45)2+6 050,-20,当 x=45 时， y 有最大值，最大值为 6 050 元;当 50 x90 时，y=-120x+12 000,-1200,y 随 x 的增大而减少 .当 x=50 时， y 有最大值，最大值为 6 000 元.销售该商品第 45 天时，每天销售利润最大，最大利润为 6 050 元.(3)41 天.10.(1)y=30-2x(6x 15).(2)设矩形苗圃园的面积为 S，则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x=-2
30、(x-7.5)2+112.5，由(1)知，6 x 15 ，当 x=7.5 时，S 最大值 =112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为 7.5 米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为 112.5.(3)这个苗圃园的面积不小于 88 平方米，即-2(x-7.5)2+112.588，由图象知 4x 11.x 的取值范围为 4x11.11.(1)w(x-20)250-10(x-25)-10(x-20)(x-50)-10x 2700x-10 000.(2)w-10x 2+700x-10 000 -10(x-35)22 250，当 x35 时，w 取到最大值 2 250，即销售单价为 35 元时，
31、每天销售利润最大，最大利润为 2 250 元.(3)w-10(x-35) 22 250， 函数图象是以 x35 为对称轴且开口向下的抛物线.对于方案 A，需 20x30，此时图象在对称轴左侧(如下图)，w 随 x 的增大而增大，x30 时，w 取到最大值 2 000.当采用方案 A 时，销售单价为 30 元可获得最大利润为 2 000 元.对于方案 B，45 x49，此时图象位于对称轴右侧(如下图 )，w 随 x 的增大而减小，故当 x45 时，w 取到最大值 1 250，当采用方案 B 时，销售单价为 45 元可获得最大利润为 1 250 元.来源:学优高考网 gkstk两者比较，方案 A 的最大利润更高.
