1、题型专项(六) 特殊四边形的性质与判定特殊四边形的性质与判定是四边形中的重要内容，同时也是贵州 9 地州每年中考的必考内容之一，考查的题型以解答题为主，而菱形的性质与判定又是近几年中考试题中的一个热点特殊四边形的性质与判定的综合题的解答必须具备观察、推理、探索和猜想能力，还需要注重知识的实际应用和动手操作能力类型 1 平行四边形的性质与判定 (2015毕节)如图，将平行四边形 ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，12连接 FD.(1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形；(2)若 AB3，AD4，A60，求 CE 的长【思路点拨】 (1)利用
2、平行四边形的性质得 ADBC，ADBC，再结合已知得 DEFC，DEFC，推出平行四边形；(2)过点 D 作 DNBC 于点 N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出 DF 的长，进而求出 CE.【解答】 (1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.DE AD，F 是 BC 边的中点，DEFC，DEFC.四边形 CEDF 是平行四边形12(2)过点 D 作 DNBC 于点 N，四边形 ABCD 是平行四边形，A60，BCDA60.AB3，AD4，FC2，NC DC ，DN .12 32 332FN ，则 CEDF .来源:学优高考网 gkstk12 DN2 FN2 7此题
3、主要考查平行四边形的性质与判定以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键. 解题过程中，若遇到一组对边相等，可以考虑寻找这组对边平行或另一组对边相等来证明四边形是平行四边形1(2013黔南)如图，在ABC 中，ACB90，CAB30，ABD 是等边三角形，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F.求证：(1)AEFBEC；(2)四边形 BCFD 是平行四边形2(2015乌鲁木齐)如图，ABCD 中，点 E，F 在直线 AC 上(点 E 在 F 左侧)，BEDF.(1)求证：四边形 BEDF 是平行四边形；(2)若 ABAC，AB4，BC2 ，当四边形 BEDF
4、为矩形时，求线段 AE 的长13来源:学优高考网类型 2 矩形、正方形的性质与判定 (2014安顺)如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 的外角CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E.(1)求证：四边形 ADCE 为矩形；(2)当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明【思路点拨】 (1)结合题意，运用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判断；(2)根据正方形的判定，假设 AD BC，由已知 DC BC，再结合(1)问中结论，可证四边形 ADCE 为正方形12 12【解答】 (1)证明：在ABC 中，ABAC，ADBC.BADDAC.
5、AN 是ABC 的外角CAM 的平分线，MAECAE.DAEDACCAE 18090.12又ADBC，CEAN，ADCCEA90.四边形 ADCE 为矩形(2)例如，当BAC90时，四边形 ADCE 是正方形证明：BAC90，ABAC，ADBC 于 D.ACDDAC45，DCAD.由(1)知四边形 ADCE 为矩形，矩形 ADCE 是正方形本题是一道开放性试题，矩形的判定方法不止一种，结合题意灵活选择判定方法是关键；问题(2)中，先进行探究分析得出结论，然后结合结论进行“顺藤摸瓜”式推论验证1(2013黔东南)如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是对角线 BD 上的一点，过点 M 作 MEC
6、D 交 BC 于点 E，作MFBC 交 CD 于点 F.求证：AMEF.2(2015北京)在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DFBE，连接 AF，BF.(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；来源:学优高考网(2)若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB.来源:学优高考网3(2014铜仁模拟)如图，已知ABC 中，ABAC，BADCAD，F 为 BA 延长线上的一点，AE 平分FAC，DEAB 交 AE 于 E.(1)求证：AEBC；(2)求证：四边形 AECD 是矩形；(3)BC6 cm，S 四边形 AECD12 cm 2，求 AB
7、 的长类型 3 菱形的性质与判定 (2015遵义) 在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F.(1)求证：AEFDEB；(2)求证：四边形 ADCF 是菱形；(3)若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积【思路点拨】 (1)由平行线的性质得内错角相等，由 E 是 AD 中点得 AEDE，从而可证AEFDEB；(2)利用AEFDEB 得 AFDB，根据一组对边平行且相等，便可证出四边形 ADCF 是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证出平行四边形的邻边 ADDC；(3)根据题意可得 S
8、 菱形 ADCF等于 SADC 的 2 倍，SABC 等于 SADC 的 2 倍，从而即可求得 S 菱形 ADCF.【解答】 (1)证明：AFBC，AFEDBE，FAEBDE.E 是 AD 的中点，AEDE.AEFDEB.(2)证明：AEFDEB，AFDB.在 RtABC 中，D 是 BC 的中点，BDDCAD.AFDCAD.AFBC，四边形 ADCF 是菱形(3)AC4，AB5，S ABC ABAC 5410.12 12BDDC，S ADC S ABD SABC 5.12S 菱形 ADCF2S ADC 2510.菱形的判定方法有很多种，根据已知条件合理选用判定方法是解题的关键；菱形的面积通常
9、用它对角线乘积的一半来计算，也可以转化为其他图形的面积计算1(2013安顺)如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE2DE，延长 DE 到 F，使得 EFBE，连接 CF.(1)求证：四边形 BCFE 是菱形；(2)若 CE4，BCF120，求菱形 BCFE 的面积2(2015黔南)如图，已知ABC，直线 PQ 垂直平分 AC，与边 AB 交于 E，连接 CE，过点 C 作 CF 平行于 BA交 PQ 于点 F，连接 AF.(1)求证：AEDCFD；(2)求证：四边形 AECF 是菱形(3)若 AD3，AE5，则菱形 AECF 的面积是多少？参考答案类型 1 1.证明：(1
10、)E 是 AB 中点，AEBE.ABD 是等边三角形，DAB60.CAB30，ACB90，ABC60.又FEACEB，AEFBEC(ASA)(2)DACDABBAC，DAB60，CAB30，DAC90，ADBC.E 是 AB 的中点，ACB90，ECAEBE.ECA30，EFA60.EFABDA60，CFBD.四边形 BCFD 是平行四边形2(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，DAFBCE.又BEDF，BECDFA.在BEC 与DFA 中， BEC DFA， BCE DAF，BC DA， )BECDFA(AAS)BEDF.又BEDF，四边形 BEDF 为平行四边形(
11、2)连接 BD，BD 与 AC 相交于点 O，ABAC，AB4，BC2 ，13AC6.AO3.RtBAO 中，BO5.四边形 BEDF 是矩形，OEOB5.点 E 在 OA 的延长线上，且 AEOEOA2.类型 2 1.证明：连接 MC.正方形 ABCD 中，ADCD，ADMCDM，DMDM，ADMCDM.AMCM.MECD，MFBC，四边形 CEMF 是平行四边形ECF90，四边形 CEMF 是矩形EFMC.又AMCM，AMEF.2证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD.BEDF，BEDF，四边形 BFDE 是平行四边形DEAB，DEB90.四边形 BFDE 是矩形(2)四边形
12、 ABCD 是平行四边形，ABDC.DFAFAB.在 RtBCF 中，由勾股定理，得 BC 5，FC2 FB2 32 42ADBCDF5.DAFDFA.DAFFAB，即 AF 平分DAB.3(1)证明：ABAC，BADCAD，ADBC，ADB90.AE 平分FAC，EADEACDAC FAC BAC 18090.12 12 12AEBC.(2)证明：DEAB，AEBC，四边形 ABDE 是平行四边形，AEBD.BDCD，AECD.四边形 AECD 是平行四边形ADC90，四边形 AECD 是矩形(3)BC6 cm，CD3 cm.S 四边形 AECD12 cm 2，AD4 cm. 来源:学优高考
13、网 gkstkABAC 5(cm)32 42类型 3 1.(1)证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，BC2DE.又BE2DE，EFBE，BCBEEF，EFBC.四边形 BCFE 是菱形(2)连接 BF，交 CE 于点 O.在菱形 BCFE 中，BCF120，CE4，BFCE，BCO BCF60，OC CE2.在 RtBOC 中，tan 60 ，12 12 OBOCOB2tan 60，BF4tan 60.S 菱形 BCFE CEBF 44tan 608 .12 12 32(1)证明：PQ 为线段 AC 的垂直平分线，AECE，ADCD，CFAB，EACFCA，AEDCFD.在AED 与CFD 中， EAC FCA，AD CD， AED CFD， )AEDCFD.(2)证明：AEDCFD，AECF.EF 为线段 AC 的垂直平分线，ECEA，FCFA.ECEAFCFA.四边形 AECF 为菱形(3)在菱形 AECF 中，ACEF，ADE 为直角三角形在 RtADE 中，由勾股定理，得 ED 4.AE2 AD2S 菱形 AECF4S ADE 4 4324.12
