1、1.3 算法案例( 一)【明目标、知重点】1理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析2了解秦九韶算法及利用它计算提高计算效率的本质3对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序【填要点、记疑点】1辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数 m， n(mn)第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r.第三步，mn，nr.第四步，若 r0，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步2更相减损术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用 2 约简
2、；若不是，执行第二步第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数) 或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数3秦九韶算法把一个 n 次多项式 f(x)a nxna n1 xn1 a 1xa 0 改写成如下形式：(anxa n1 )xa n2 )x a 1)xa 0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1a nxa n1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v 1xa n2 ，v3v 2xa n3 ，vnv n1 xa 0这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次
3、多项式 的值【探要点、究所然】情境导学 在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，利用找公约数的方法来求最大公约数如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它 们的最大公约数？比如求 8 251 与 6 105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容探究点一 辗转相除法思考 1 18 与 30 的最大公约数是多少？你是怎样得到的？答 先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数由于 ，所以，18 与 30 的最大公约数是 236.问题 如何求两个正数 8 251 和 6 105 的最大公约数？思考 2
4、对于 8 251 与 6 105 这两个数，由于其公有的质因数较大，利用小学的方法求最大公约数就比较困难注意到 8 2516 10512 146，那么 8 251 与 6 105 这两个数的公约数和 6 105 与 2 146 的公约数有什么关系？答 显然 8 251 的最大公约数也必是 2 146 的约数，同样 6 105 与 2 146 的公约数也必是 8 251 的约数，所以 8 251 与 6 105 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数思考 3 又 6 1052 14621 813，同理，6 105 与 2 146 的公约数和 2 146 与 1 813 的公约
5、数相等重复上述操作，你能得到 8 251 与 6 105 这两个数的最大公约数吗？答 8 2516 10512 146，6 1052 14621 813，2 1461 8131333，1 8133335148，333148237，1483740.最后的除数 37 是 148 和 37 的最大公约数，也是 8 251 与 6 105 的最大公约数反思与感悟 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法思考 4 (1)用辗转相除法可以求两个正整数 m，n 的最大公约数，那么用什么逻辑结构来设计算法？其算法步骤如何设计？(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？
6、(3)如果用当型循环结构设计算法，正整数 m，n 的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？答 (1)用循环结构设计算法，算法如下：第一步，给定两个正整数 m， n(mn)第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r.第三步，mn，nr.第四步，若 r0，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步(2)程序框图：程序：INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND探究点二 更相减损术思考 1 设两个正整数 mn，若 mnk，则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公约数相等反复利用这个原理，可求得 98 与 63 的最大公约
7、数为多少？答 由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，得 986335，633528，35287，28721，21714，1477.可知 98 与 63 的最大公约数为 7.小结 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术思考 2 (1)用更相减损术可以求两个正整数 m，n 的最大公约数，那么用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？答 (1)用循环结构设计算法，算法如下：第一步，任意给定两个正整数 m，n( mn)第二步，计算 mn 所得的差 k.第三步，比较 n 与 k 的大小，其中大者用 m 表示，小者用 n 表示第四步，若 mn，则 m，n 的最大
8、公约数等于 m；否则，返回第二步(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？答 程序框图：程序：INPUT m,nWHILE mk THENm=nn=kELSEm=kEND IFWENDPRINT mEND例 1 分别用辗转相除法和更相减损术求 261 和 319 的最大公约数解 辗转相除法：3192611( 余 58)，261584( 余 29)，58292( 余 0)，所以 319 与 261 的最大公约数为 29.更相减损术：31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，29290，所以 319 与 261 的最大公约
9、数是 29.反思与感悟 1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数2利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是首先判断两个正整数是否都是偶数若是，用 2 约简也可以不除以 2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果跟踪训练 1 用辗转相除法求 80 与 36 的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果解 803628，36844,8420，即 80 与 36 的最大公约数是 4.验证：80240 3621840220 1
10、82920911 1192927 725523 321211 1224所以 80 与 36 的最大公约数为 4.探究点三 秦九韶算法的基本思想思考 1 怎样计算多项式 f(x)x 5x 4x 3x 2x1 当 x5 时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？答 f(5)5 55 45 35 2513 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10次乘法运算，5 次加法运算思考 2 我们把多项式变形为 f(x)(x 1) x1) x1)x1)x1，再统计一下计算当 x5时的计算的种类及计算次数分别是什么？答 从里往外计算仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果小结 思考 2
11、中的计算比问题 1 中的计算显然少了 6 次乘法运算这种算法就叫秦九韶算法一般地，f(x)a nxna n1 xn1 a n2 xn2 a 1xa 0(a nxn 1a n1 xn2 a n2 xn 3a 1)xa 0(a nxn2 a n1 xn3 a 2)xa 1)xa 0(a nxa n1 )xa n2 )x a 1)xa 0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1a nxa n1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v 1xa n2 ，v 3v 2xa n3 ，v nv n1 xa 0，这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值例
12、 2 已知一个 5 次多项式为 f(x)4x 52x 43.5x 32.6x 21.7x0.8，用秦九韶算法求这个多项式当 x5 时的值解 将 f(x)改写为 f(x)(4x2) x3.5)x2.6)x1.7)x 0.8，由内向外依次计算一次多项式当 x5 时的值：v04；v145222；v22253.5113.5；v3113.552.6564.9；v4564.951.72 826.2；v52 826.250.814 130.2.当 x5 时，多项式的值等于 14 130.2.反思与感悟 秦九韶算法步骤：跟踪训练 2 用秦九韶算法求多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x
13、2x 当 x3 时的值解 f(x )(7x 6)x 5)x4)x3)x2) x1) x所以有v07，v173627，v2273586，v38634262，v426233789，v5789322 369，v62 369317 108，v77 108321 324.故当 x3 时，多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x 2x 的值为 21 324.【当堂测、查疑缺】1辗转相除法与更相减损术是求最大公约数的常用方法，从计算结果形式上看，辗转相除法以_得到结果，更相减损术则以_而得到结果答案 相除余数为零 减数与差相等2用辗转相除法求 85 与 51 的最大公约数时，需要做除法的
14、次数为_答案 3解析 8551134，5134117，341720.3已知 f(x)2x 3x 3，用秦九韶算法求当 x3 时 v2 的值解 f(x )2x 3x 32x 30x 2x3(2x0)x1)x 3，v02，v12306，v263119.【呈重点、现规律】1辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数2更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数3用秦九韶算法求多项式 f(x)当 xx 0的值的思路为改写；计算Error!；结论 f(x0)v n.课
