1、2.2.2 双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形焦点焦距范围对称性顶点轴长 实轴长_，虚轴长_离心率性质渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线 l：y kxm (m0) 双曲线 C： 1 (a0，b0) x2a2 y2b2把代入得(b 2a 2k2)x22a 2mkxa 2m2a 2b20.(1)当 b2a 2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交ba于_(2)当 b2
2、a 2k20，即 k 时，ba(2a 2mk)24(b 2a 2k2)(a 2m2a 2b2)0直线与双曲线有_ 公共点，此时称直线与双曲线相交；0 直线与双曲线有 _公共点，此时称直线与双曲线相切；0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程x2a2 y2b2 3为( )Ay x By2x2Cy x Dy x22 125直线 l 过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，则这样的直线有( )2A1 条 B2 条 C3 条 D4 条6已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且| PF1| 4|PF
3、2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )A. B. C 2 D.43 53 73题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 152 6 x2a2 y2b2的离心率 e_.8在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点 A 运动的轨迹方程是_9与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点( 3，2 )的双曲线方程为x29 y216 3_三、解答题10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154，3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个
4、顶点连线的夹角为 .311设双曲线 x2 1 上两点 A、B，AB 中点 M(1，2)，求直线 AB 的方程y22能力提升12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B2 3C D3 12 5 1213设双曲线 C： y 21 ( a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A、B.x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；（2）若设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值PA 512PB 1双曲线 1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2b2(a
5、， 0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y) 的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，) ，其中 c2a 2b 2，且 ，离ca ba e2 1心率 e 越大，双曲线的开口越大可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线 1 (a0， b0)的渐近线方程为 y x，也可记为 0；与双x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 ( 0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b222.2 双曲线的简单几何性质答案知识梳理1.标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0
6、)y2a2 x2b2图形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c )，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR性质对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a)轴长 实轴长2a，虚轴长2b离心率 e (e1)ca渐近线 y xbay xab2.(1)一点 (2)两个 一个 没有作业设计1B e ，e 2 ， .62 c2a2 32 b2a2 122A3C 由于椭圆 4x2y 21 的焦点坐标为 ，(0， 32)则双曲线的焦点坐标为 ，又由渐近线方程为 y x，得 ，即 a22b 2，(0， 3
7、2) 2 ab 2又由 2a 2 b2，得 a2 ，b 2 ，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为(32) 12 142y24x 21.故选 C.4C 由题意知，2b2,2c2 ，则 b1，c ，a ；双曲线的渐近线方程为3 3 2y x.225C 点( ，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与2双曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点6B |PF 1|PF 2|2a，即 3|PF2|2a，所以|PF 2| ca，即 2a3c3a，即 5a3c ，2a3则 .ca 537.133解析 ab5，ab6，解得 a，b 的值为 2 或
8、 3.又 ab，a3，b2.c ，从而 e .13ca 1338. 1( x3)x29 y216解析 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(5,0)，C(5,0)，而|AB| |AC|63)x29 y2169. 1x294 y24解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程x29 y216为 ( 0)点(3,2 )在双曲线上，x29 y216 3 . 329 23216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y2410解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3y0 的交点坐标为 ，而 30 时，设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则
9、 1 ，x1 x22 k2 k2 k2k1，满足 0，直线 AB 的方程为 yx1.方法二 (用点差法解决)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!，两式相减得(x 1x 2)(x1x 2) (y1y 2)(y1y 2)12x 1x 2， ，y1 y2x1 x2 2x1 x2y1 y2k AB 1，21222直线 AB 的方程为 yx 1 ，代入 x2 1 满足 0.y22直线 AB 的方程为 yx 1.12. D设双曲线方程为 1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，ba而 kBF ，bc ( )1 ，ba bc整理得 b2ac.c
10、2a 2ac0，两边同除以 a2，得 e2e10，解得 e 或 e (舍去)1 52 1 5213解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解，消去 y 并整理得(1 a 2)x22a 2x2a 20，Error!解得 0，0 且 e .262 2双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( ，)(62，2) 2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P (0,1) ，(x 1，y 11) (x2，y 21)，PA 512PB 512由此可得 x1 x2.x 1，x 2 都是方程的根，512且 1a 20，x 1x 2 x2 ，1712 2a21 a2x1x2 x ，消去 x2 得 ，5122 2a21 a2 2a21 a2 28960即 a2 .289169又a0，a .1713
