1、抛物线一、选择题1.抛物线 y28x 的准线方程是( )A.x-2 B.x-4 C.y-2 D.y-4解析:2p8,p4,故准线方程为 x-2, 故选 A.答案:A2.若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 126y的右焦点重合,则 p 的值为( )A.-2 B.2 C.-4 D.4解析:椭圆 126x的右焦点为 (2,0),所以抛物线 y22px 的焦点为(2,0),则 p4,故选 D.答案:D3.已知点 A(-2,1),y2-4x 的焦点是 F,P 是 y2-4x 上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则 P 点的坐标是( )A.( 41,1) B.(-2, ) C.( 41,-1) D.
2、(-2, 2)解析:过 P 作 PKl(l 为抛物线的准线)于 K,则|PF|PK|,|PA|+|PF|PA|+|PK|.当 P 点的纵坐标与 A 点的纵坐标相同时,|PA|+|PK|最小,此时 P 点的纵坐标为 1,把 y1 代入 y2-4x,得 41x,即当 P 点的坐标为( 41,1)时,|PA|+|PF|最小.答案:A4.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y24x 的焦点,A 为抛物线上一点 ,若 4AFO,则点 A的坐标为( )A.(2, 2) B.(1,2) C.(1,2) D.(2, 2)解析:抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),设 A 点坐标为(x 0,y0),则(x 0
3、,y0)(1-x0,y0)-4,即 x0(1-x0)-y02-4.又 y024x 0,得 x02+3x0-40,解得 x01 或 x0-4(舍去),A(1,2).答案:B5.(2008 四川高考,理 12)已知抛物线 C:y28x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C上且|AK| |2AF,则AFK 的面积为( )A.4 B.8 C.16 D.32解析: 抛物线 C:y28x 的焦点为 F(2,0),准线为 x-2,K(-2,0).设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,则 B(-2,y0),|AK| |2F,又|AF|AB|x 0-(-2)x 0+2,由 |B
4、K|2|AK| 2-|AB|2,得 y02(x 0+2)2,即 8x0(x 0+2)2,解得 A(2,4).AFK 的面积为 1|KF|y0| 2448.故选 B.答案:B6.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y22px(p0) 的焦点,A 是抛物线上的一点, FA与 x 轴正向的夹角为 60,则 | A|为( )A. 421p B. 21p C. p613 D. p361解析:过 A 作 ADx 轴于点 D,令 FDm,则 FA2m,p+m2m,mp. ppO21)3()2(.答案:B二、填空题7.抛物线 y22px(p0)的动弦 AB 长为 a(a2p),则动弦 AB 的中点 M 到 y
5、轴的最短距离是_.答案: pa8.(2008 全国高考卷)已知抛物线 yax 2-1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_.解析:由抛物线 yax 2-1 的焦点坐标为 (0, 14a)为坐标原点,得 41a,则 12xy与坐标轴的交点为(0,-1),(-2,0),(2,0), 则以这三点围成的三角形的面积为 2412.答案:29.已知抛物线 y24x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y12+y22 的最小值是_.答案:3210.点 P 到 A(1,0)和直线 x-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:yx
6、的距离等于 2,则这样的点 P 的个数为_.解析:由抛物线定义,知点 P 的轨迹为抛物线,其方程为 y24x,设点 P 的坐标为( 420y,y0),由点到直线的距离公式,知 2|4|02y,即 y02-4y040,易知 y0 有三个解,故点 P 个数有三个.答案:3三、解答题11.如图,曲线 G 的方程为 y2 2x(y0).以原点为圆心,以 t(t0)为半径的圆分别与曲线 G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.(1)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式;(2)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a2,求证: 直线 CD 的斜率为定
7、值 .解:(1)由题意 ,知 A(a, 2).因为|OA| t,所以 a2+2at 2.由于 t0,故有 t.由点 B(0,t),C(c,0)的坐标,知直线 BC 的方程为 1tycx.又因点 A 在直线 BC 上,故有 2tac,将代入上式,得 1)(a,解得 2c.(2)因为 D(a+2, )(a),所以直线 CD 的斜率为 )2(2)(2ackCD 1)2(a.所以直线 CD 的斜率为定值.12.设动点 P 到点 A(-1,0)和 B(1,0)的距离分别为 d1 和 d2,APB2,且存在常数 (01),使得 d1d2sin2 .(1)证明动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方
8、程;(2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定 的范围,使 0ONM其中点 O 为坐标原点.解:(1)在 PAB 中,|AB|2,则 22d 12+d22-2d1d2cos2,4(d 1-d2)2+4d1d2sin2,即 21sin4| 2121 d(常数),点 P 的轨迹 C 是以 A、B 为焦点,实轴长 a的双曲线 ,方程为 12yx.(2)方法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),当 MN 垂直于 x 轴时,MN 的方程为 x1,M(1,1),N(1,-1) 在双曲线上,即 12+-10 51.因为 01,所以 5.当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的
9、方程为 yk(x-1).由 ),1(2kyx得-(1-)k 2x 2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)0,由题意知-(1-)k 20,所以 221)(k,221)(x,于是 y1y2k 2(x1-1)(x2-1) 2)1(k.因为 0ONM,且 M、 N 在双曲线右支上,所以 01.3215)(1)(02212 kxy由,知 325.方法二:设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 E(x0,y0).当 x1x 2 1 时, 1|MB2+-10,因为 01,所以 25;当 x1x2 时, 121y01ykMN.又 kMNk BE 0x,所以(1-)y 02x 02-x0.由M
10、ON ,得 x02+y02( |MN)2,由第二定义得 1)|(axe 201(x 020)(x,所以(1-)y 02x 02-2(1-)x0+(1-)2.于是由 ,)1()()1(,2020xxy得 32)1(0x.因为 x01,所以 1)(2.又 01,解得 3215.由知 .13.过 x 轴上的动点 A(a,0)向抛物线 yx 2+1 引两切线 AP、AQ,P、Q 为切点.(1)若切线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k 2,求证:k 1k2 为定值;(2)求证:直线 PQ 过定点;(3)若 a0,试求 |OASPQ的最小值.解:(1)设过 A 作抛物线 yx 2+1 的切线的斜率为 k
11、,则切线方程为 yk(x-a),与方程 yx 2+1 联立,消去 y,得 x2-kx+ak+10.直线与抛物线相切,k 2-4(ak+1)0,即 k2-4ak-40.依题意知,此方程两根为 k1,k2,k1k2 -4(定值).(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2).方程 y x2+1 的两边对 x 求导,得 y2x,在 P 点处的切线斜率为 y|xx 12x 1.因此,切线方程为 y-y12x 1(x-x1).由 y1x 12+1,化简可得 2x1x-y-y1+20.同理可求得在点 Q 处的切线方程为 2x2x-y-y2+20.两切线的交点为 A(a,0),故可得 2x1a-y1+20,
12、2x 2a-y2+20,因此,P、Q 两点在直线 2ax-y+20 上,即直线 PQ 的方程为 2ax-y+20.当 x0 时,y2,直线 PQ 经过定点 (0,2).(3)由(2)将 PQ 的方程 y2ax+2, 与抛物线方程 yx 2+1 联立,可得到 x2-2ax-10.P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x22a,x 1x2-1. 21)()(| yPQ 44222xa )(1.又 A(a,0)到 PQ 的距离 241ad, 23)(|21PQSA. 4222323 311|)(| aaaO.考虑函数 xxf(x0),则 xf )1(1313)( 222 .当 2x时 f(x)0,f(x)在 ( 1,+)上为增函数.当 x时,f(x)0,f(x)在 (0, 2)上为减函数.当 1x时,f(x)取得极小值,也是最小值 427)1(f.|OASPQ的最小值为 347,当且仅当 21a,即 时,取“”, A( ,0)或 A(,0)时, |OASPQ取得最小值 3.
