1、33.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1了解线性规划的意义2会求一些简单的线性规划问题线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成的不等式或方程线性约束条件 由 x，y 的一次不等式( 或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x，y 的函数解析式线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解(x，y)可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1若实数 x，y 满足不等式组Error! 则 xy 的最大值为( )A9 B. C1
2、 D.157 715答案 A解析 画出可行域如图：当直线 yxz 过点 A 时，z 最大由Error! 得 A(4,5)，z max459.2已知点 P(x，y) 的坐标满足条件Error!则 x2y 2 的最大值为( )A. B8 C16 D1010答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得 A(1,1)，| OA| ，B(2,2)，2|OB|2 ，2C(1,3)， |OC| .10(x 2 y2)max| OC|2( )210.103在坐标平面上有两个区域 M 和 N，其中区域 MError! ，区域 N(x ，y)|tx t1,0t1，区域 M 和 N 公共部分的面积用函数
3、f(t)表示，则 f(t)的表达式为( )At 2t B2t 22t12C1 t2 D. (t2) 212 12答案 A解析 作出不等式组Error!所表示的平面区域由 txt1,0t1，得f(t)S OEF S AOD S BFC1 t2 (1t) 212 12t 2t .124设变量 x，y 满足约束条件Error! 则目标函数 z3x4 y 的最大值和最小值分别为( )A3，11 B3，11C11，3 D11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知 z3x4y 经过点 A 时 z 有最小值，经过点 B 时 z 有最大值易求 A(3,5)，B(5,3)z 最大 35433，z
4、 最小334511.5 设不等式组Error!，所表示的平面区域是 1，平面区域 2 与 1 关于直线3x4y90 对称对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B，则|AB|的最小值为( )A. B4 C. D2285 125答案 B解析 如图所示由约束条件作出可行域，得 D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)要求|AB| min，可通过求 D、E 、C 三点到直线 3x4y90 距离最小值的 2 倍来求经分析，D(1,1) 到直线 3x4y90 的距离 d 2 最小，|31 41 9|5|AB| min4.二、填空题6设变量 x，y 满足约束条件Error! 则目标函数 z2x3 y
5、 的最小值为_答案 7解析 作出可行域如图所示由图可知，z2x3y 经过点 A(2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为 7.7已知1xy 4 且 2xy3，则 z2x3y 的取值范围是_( 答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由Error!得平面区域如图阴影部分所示由Error! 得Error!由Error! 得Error!2331z 2x3y213(2) ，即 3z8，故 z2x 3y 的取值范围是(3,8)8已知实数 x，y 满足Error!则 的最大值为_yx答案 2解析 画出不等式组Error!对应的平面区域 ， 表示平面区域 上的点 P(x，y)与yx y 0x 0原点的连线的斜
6、率A(1,2)， B(3,0)， 0 2.yx三、解答题9线性约束条件Error!下，求 z2xy 的最大值和最小值解 如图作出线性约束条件Error!下的可行域，包含边界：其中三条直线中 x3y 12 与 3xy 12 交于点 A(3,3)，xy10 与 x 3y12 交于点 B(9,1)，xy10 与 3xy12 交于点 C(1,9)，作一组与直线 2xy 0 平行的直线 l：2xyz，即 y2xz，然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为z，当 l 经过点 B 时，z 取最小值，此时 z 最大，即 zmax29117；当 l 经过点 C 时，z 取最大值，此时z 最小，即 z
7、min2197.z max17，z min7.10已知Error!，求 x2y 2 的最小值和最大值解 作出不等式组Error!的可行域如图所示，由Error! ，得 A(1,3)，由Error! ，得 B(3,4)，由Error! ，得 C(2,1)，设 zx 2y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到 OCAC ，原点到点 C 的距离最小故 zmax|OB| 2 25，z min|OC| 25.能力提升11已知实数 x，y 满足Error!，求 x2y 22 的取值范围解 作出可行域如图，由 x2y 2(x 0)2(y0) 2，可以看作区域
8、内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线 xy 60 的距离的平方，即|OP |2，最大值为 |OA|2，其中 A(4,10)，| OP| 3 ，|0 0 6|12 12 62 2|OA| ，42 102 116(x 2 y22) min(3 )2218216，2(x2y 22) max( )22 1162114，11616x 2y 22114.即 x2y 22 的取值范围为 16x 2y 22114.12已知实数 x、y 满足Error!，试求 z 的最大值和最小值y 1x 1解 由于 z ，y 1x 1 y 1x 1所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 M(1，1) 连线的斜率，因此 的最值就是点( x，y )与点 M(1，1)连线的斜率的最值，y 1x 1结合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即zmaxk MB3，此时 x0，y 2；zmink MC ，此时 x1，y 0.12z 的最大值为 3，最小值为 .121作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解2在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题
