1、初二数学寒假专题三角形拓展（二）北京实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题三角形拓展（二）【典型例题】例 1. 已知：如图所示， ABC 中，AB=AC ， D、E 分别是 AC、AB 上的点，若BD=BC，AD=DE=BE，求 A的度数。 A 1 D E 3 4 2 B C 分析：题目图形中有较多的等腰三角形，因此想到利用设未知数，通过方程思想，依据三角形内角和定理，注意这种方法是一个三角形中设未知数，用未知数表示另一个三角形中的角，然后利用三角形内角和定理及推论列方程，所以此题解法很多。解法 1：在ADE 中，设 AxADEBxBDCx， 123234243,AABCxx，在 中
2、， ， 解 得2180321804545解法 2：在BDE 中，设 2=xDEBx， 321ADEAxBC， 12434同 理在 中 ， 解 得 xAABCx180231805.4注：此题还有其他一些解法，同学们可模仿上面解法自己研究，从中体会设未知数方法的应用。例 2. 已知：如图所示，ABC 中， CBAC2， ， 求证： 90。 A B C 分析：如图所示，此题欲证 A90，一时很难下手，也无法倒推，怎么办？由条件 CBC2， ，想到由处理这两个倍分条件入手，看看能否从中找到证题方法，用折半法：作 CD 平分 ACB，则必有 2= 1=B，从中得到 DB=DC，进一步想到再将 BC 折半
3、，取 BC 中点 E，连结 DE，则 DEC=90，故只需证 A=DEC，由 ADE可得。证明 1：作 CD 平分 ACB 交 AB 于 D，取 BC 中点 E，连结 DE，则 ACB=2 1=22CBBECAADCDE219022190， ，在 和 中， ，A D B E C 1 2 分析 2：如图所示，此题由处理条件 C=2 B，想到延长 BC 到 E，使 CE=AC，连结 AE，则必有 EAC1，进一步得 E= B，取 BC 中点 D 以后，不难发现 ABD，进而得 AD=AC=DC， AA603090， ， 。证明 2：如图所示，延长 BC 到 E，使 CE=AC，连结 AE，则 C，
4、取 BC中点 D，连结 AD。CBBEADCEADC22， ，在 和 中 ， ， ，DCAB是 等 边 三 角 形60CA12390A B D C E 例 3. 已知：如图所示，ABC 中， AB60，延长 AC 到 D，使 CA12，若 CDB45，求 BC的度数。A B C D 分析：此题欲求 ABC的度数，一时很难下手，应注意 AB60，CD12，想到含 30角的直角三角形的性质，为此作 EC于 E，则 13，进而得 ED230， ， 由 D45，又可得B15，从而发现 AE=DE=BE，故ABE 是等腰直角三角形，所以AC4。 A 1 B E C 2 3 D 解：作 AEBCAB于 ，
5、 则 190DAEDCBAE6031232601，CDBEDBCEABCE453152301， ABC29045注：题目已知条件中有 30角或 60角时，常设法利用“直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，这是一个解几何题的重要思路。例 4. 已知，如图所示，等腰直角三角形 ABC， BACBAC90， ，D 、E 是斜边 BC 上的两点，且 DAE45， 求证： DE22。 A B D E C 证明：作 CF， C 为垂足，取 CF=BD，连结 AF、EFABCBFADCABCFD901284590在 和 中， ，()ACFBDSACFBADCEDA()， 90459045
6、在 和 中， ，在 中 ， 由 勾 股 定 理 得FAEERtCCFE22BD22 A F B D E C 注：在证明两条线段的平方和等于另一条线段的平方时，若这三条线段在同一个直角三角形中时，就直接应用勾股定理，若这三条线段不在同一个直角三角形中时，则要构造一个这样的直角三角形，如在本题中，线段 BD、EC 、DE 在同一直线上，不能直接应用勾股定理证明，我们就构造 RtEFC ，使 BD、EC、DE 都集中到这个直角三角形中，再应用勾股定理来证明。例 5. 已知：如图所示， 1= 2，DE/AC 交 AB 于 E， FAD交 BC 延长线于 F，求证： FAC= B。 A 1 2 E 3
7、B D C F 分析：欲证： FAC= B，由 DE/AC，得 3= 2= 1，从而得 EA=ED，由EFAD得 EF 是 AD 中垂线，进而得 FA=FD，故有 FAC+ 2= FDA=B+ 1，由1= 2，得 FAC= B。证明： EA/， 321231， ， 平 分 EADEFADCB21FA注：此题的条件中有角平分线和平行线，在这样的基本图形中一定会产生等腰三角形。小结：几何的学习在掌握了基本概念之后，同学们要善于从复杂的图形中，发现基本图形，这是学习中的一个由繁到简的过程，另外分析的思路靠同学们自己来总结，这就需要同学们在解题之前，解题之中，解题之后都要认真的思考。【模拟试题】 （答
8、题时间：30 分钟）1. 已知：如图所示，C 是线段 AB 上一点，ACD 和BCE 都是等边三角形，AE、CD交于 P，BD 、 CE 交于 Q，求证：PQC 是等边三角形。 D E P Q A C B 2. 已知：如图所示，在 ABC 中， 120， 点 E、D 分别在 AB 和 AC 上，如果 AE=ED=DB=BC，求 A 的度数。 B E A D C 3. 已知：如图所示，在ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， ABD=30，CBD=90，求证：AB=2BCB A D C 4. 已知：如图所示， AD 是ABC 的中线， C=90， DEAB于 E，求证：ACEB22。 A E
9、C D B 5. 已知：如图所示， AB=BC， BAAE， ，C 、D 、E 在一条直线上，求证：ADE 是等腰三角形。 A E B D C 【试题答案】1. 提示：通过 PC=QC， PCQ=60证明。2. 15。提示：设 A=x，通过等边对等角，表示其它角，再利用方程思想解决。3. 提示：延长 BD 至 E，使 DE=BD，连接 AE，证明 BDCEA，可得 AED=CBD=90，在 RtABE 中，通过直角三角形 30的性质可得。4. 提示：在 RtACD、RtADE、RtBDE 中应用勾股定理，通过等量代换证之5. 提示：先证 AD=CD，再证 BDC= E，再证 EAD= E，得 AD=ED，可证。
