1、第二十一讲 等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例题 1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。解：因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC 的面积。直角
2、梯形 OEFC 的上底为 10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（厘米 2）。答：阴影部分的面积是 17 厘米 2。例题 2：在右图中，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边 EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大 10 厘米 2，求平行四边形 ABCD 的面积。解：因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 厘米 2，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 厘米 2，所以平行四边形 ABCD 的面积等于1082+10=5
3、0（厘米 2）。答：平行四边形 ABCD 的面积是 50cm.例题 3：在右图中，AB=8 厘米，CD=4 厘米，BC=6 厘米，三角形AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘米 2。求 ED 的长。解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘米 2，这两个三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形ECB 的面积大 18 厘米 2。梯形 ABCD 面积=（8+4）62=36（厘米 2），三角形 ECB 面积=36-18=18（厘米 2），EC=1862=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。答：ED 的长 2 厘米。例 4：下页上图中，ABCD
4、 是 74 的长方形，DEFG 是 102 的长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差。解法一：连结 B，E（见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 BEO，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结 C，F（见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 CFO，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形 ECF的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3.例题 5：左下图是由大、小两个正方形组
5、成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积。解：连结 AD（见右上图），三角形 ABD 与三角形 ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形 AFD 是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF 与三角形 FCD 面积仍然相等。根据等量代换，求三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 442=8（厘米 2）。答：三角形 ABC 的面积是 8 厘米 2。练习1、 下左图中，已知 BD 长是 10，DC 长是 15，E 是 AD 的中点，如果三角形 ABD
6、 的面积是 100，三角形 DEC 的面积是多少？2、上 右 图 中 ,三 角 形 的 面 积 是 30 平 方 厘 米 , 是 的 中 点 ,ABCDBC的 长 是 的 长 的 2 倍 ,那 么 三 角 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米 ？AEDCE3、 如 下 图 ,把 三 角 形 的 一 条 边 AB 延 长 1 倍 到 D,把 它 的 另 一 边 AC延 长 2 倍 到 E,得 到 一 个 较 大 的 三 角 形 ADE,三 角 形 ADE 的 面 积 是 三 角形 ABC 面 积 的 几 倍 .4、 如 图 ， 三 角 形 BDE 的 面 积 是 54 平 方 厘 米 ，
7、三 角 形 ABC 是 平 行 四 边形 CDEF 面 积 的 3 倍 ， 求 三 角 形 ABC 的 面 积 。5、 下 图 的 两 个 正 方 形 ,边 长 分 别 为 8 厘 米 和 4 厘 米 ,那 么 阴 影部 分 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米 。6、 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， E 为 AB 的 中 点 ， F 为 CD的 中 点 。 如 果 四 边 形 ABCD 的 面 积 是 120 平 方 厘 米 ， 求四 边 形 BEDF 的 面 积 是 多 少 ？7、左下图中，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米，以 C 为圆心、CF 为半径画弧线 EF，组
8、成扇形 CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？8、右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。9、左下图中，扇形 ABD 的半径是 4 厘米，甲比乙的面积大 3.44 厘米 2。求直角梯形 ABCD 的面积。（=3.14）10、在右上图的三角形中，D，E 分别是所在边的中点，求四边形ADFE 的面积。11、下页左上图中，矩形 ABCD 的边 AB 为 4 厘米，BC 为 6 厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF 的面积大 9 厘米 2，求 ED 的长。12、右上图中，CA=AB=4 厘米，三角形 ABE 比三角形 CDE 的面积大2 厘米 2，求 CD 的长。13、如图，三角形 ABC 的面积是 30 平方厘米，AE=ED,BD=BC，求阴影部分的面积和。
