1、限时作业 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题1.全称命题“ xZ,2x+1 是整数”的逆命题是( )A.若 2x+1 是整数 ,则 xZ B.若 2x+1 是奇数,则 xZC.若 2x+1 是偶数,则 xZ D.若 2x+1 能被 3 整除,则 xZ解析:命题“ xZ,2x+1 是整数”的条件为 xZ,结论为 2x+1 是整数,故选 A.答案:A2.(2008 重庆高考,文 2)设 x 是实数,则“x0” 是“|x|0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:由 x0 |x|0 充分,而 |x|0 x0 或 x0,不必要,故选
2、 A.答案:A3.对任意实数 a、b、c, 给出下列命题:“ab”是“acbc”的充要条件;“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;“ab”是“a 2b 2”的充分条件;“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:当 c0,a、b 不为 0 时,acbc ab,所以 是假命题;当 a2,b-3 时,ab 推不出a2b 2,所以是假命题;显然正确.答案:B4.若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(0)3,f(3) -1. 设 Px|f(x+t)-1|2,Qx|f(x) -1, 若“xP”是“xQ”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是
3、( )A.t0 B.t0 C.t-3 D.t-3解析:由题意知 Px|-1f(x+t)3x|-tx3-t,Q x|f(x)f(3)x|x3,“xP”是“xQ”的充分而不必要条件,P Q.-t3,t-3.故选 C.答案:C5.设 p、q 是简单命题,则“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.不充分且不必要条件解析:由“p 且 q 为假”,知 p、q 中至少有一个为假即可; 而“p 或 q 为假”, 则 p、q 都为假.由此可推得“p 且 q 为假” 是“p 或 q 为假”的必要不充分条件,故选 A.答案:A6.在ABC 中,“A3
4、0”是“sinA 21”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:举反例,如 A30,设 A160,则 sinAsin20sin30 21,则“A30”不是“sinA 21”的充分条件;如果 sinA 21,则 A(30,150),即有 A30. 故选 B.答案：B7.下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是( )p:m-2 或 m6;q:yx 2+mx+m+3 有两个不同的零点p: )(f1;q:yf(x)是偶函数p:coscos; q:tantanp:ABA;q: BAA. B. C. D.解析:由 1)(xf可得 f(-x)f(x)
5、,但 yf(x)的定义域不一定关于原点对称; 是tantan 的既不充分也不必要条件.答案:D8.(2008 陕西高考,文 6)“a1”是“对任意正数 x, xa21”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:a 1xax12 21,显然 a2 也能推出,所以“a1”是“对任意正数 x, 1”的充分不必要条件.答案:A二、填空题9.若集合 A1,m 2,B2,4,则“m2”是“AB4”的_条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选一个填在横线上)解析: AB4的充分条件是 m24,即 m2,“m2”是“AB4”的充分不必要条件
6、 .答案:充分不必要10.设 p、q 是两个命题,p: 21log(|x|-3)0,q: 6152x0,则 p 是 q 的_条件.解析：考查充要条件的判定及不等式解法.p: 21log(|x|-3)0 0|x|-31 3|x|4 -4x-3 或 3x4;q: 65x0 ( x)( 2)0 x 1或 x ,p 是 q 的充分而不必要条件.答案：充分而不必要11.已知 p:| 321x|2,q:x 2-2x+1-m20(m 0), 而 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m的取值范围为_.解析：由题意,知 q 是 p 的必要不充分条件.由 p:-1x11;由 q:1-mx1+m, 因此m21,0
7、所以 m10.答案：m10三、解答题12.判断命题“已知 a,x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 的解集非空,则 a1”的逆否命题的真假.解法一：直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.原命题:已知 a,x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 的解集非空,则 a1.逆否命题:已知 a,x 为实数,如果 a1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 的解集为空集.判断如下:抛物线:yx 2+(2a+1)x+a2+2 开口向上.判别式 (2a+1) 2-4(a2+2)4a-7.a1,4a-7 0,即抛物线
8、y x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点 ,关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 的解集为空集,故逆否命题为真 .解法二:根据命题之间的关系 “原命题与逆否命题同真同假 ”,只需判断原命题的真假即可.a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 的解集非空,(2a+1) 2-4(a2+2) 0,即 4a-70,解得 a 47.a 1,原命题为真.又 原命题与其逆否命题同真同假,逆否命题为真.解法三:利用充要条件与集合的包含、相等关系求解 .命题 p:关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2 0 有非空解集.命题 q:a1.p:A
9、a|关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20 有实数解a|(2a+1) 2-4(a2+2) 0a|a 47.q:Ba|a1.AB,“若 p 则 q”为真 .“若 p 则 q”的逆否命题 :“若 q 则 p”为真,即原命题的逆否命题为真.13.设数列a n、 bn、c n满足:b na n-an+2,cna n+2an+1+3an+2(n1,2,3,).证明a n为等差数列的充分必要条件是c n为等差数列且 bnb n+1(n1,2,3,).证明：必要性:设a n是公差为 d1 的等差数列,则 bn+1-bn(a n+1-an+3)-(an-an+2)(a n+1-an)-(a n+
10、3-a n+2)d 1-d10,bn b n+1(n1,2,3,)成立.又 c n+1-cn(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)d 1+2d1+3d16d 1(常数)(n1,2,3,).数列 cn为等差数列.充分性:设数列c n是公差为 d2 的等差数列,且 bnb n+1(n1,2,3,).证法一:c na n+2a n+1+3a n+2, c n+2a n+2+2a n+3+3a n+4. -,得 cn-c n+2(a n-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-an+4)b n+2b n+1+3b n+2,cn-c n+2(
11、c n-cn+1)+(c n+1-cn+2)-2d 2.bn+2bn+1+3bn+2-2d 2, 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3-2d 2. -,得(b n+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)0. bn+1-bn0,b n+2-bn+10,b n+3-bn+20,由 得 bn+1-bn0(n1,2,3,).由此不妨设 bnd 3(n1,2,3,),则 an-a n+2d 3(常数).由此 cna n+2an+1+3aa+24a n+2an+1-3d3,从而 cn+14a n+1+2an+2-3d34a n+1+2an-5d3.两式相减,得 cn+1-cn2
12、(a n+1-an)-2d3,因此 an+1-an 21(cn+1-cn)+d3 21d2+d3(常数)(n1,2,3),数列 cn是等差数列.证法二:令 Ana n+1-an,由 bnb n+1,知 an-a n+2a n+1-a n+3,从而 a n+1-ana n+3-a n+2,即 AnA n+2(n1,2,3).由 cna n+2a n+1+3a n+2,c n+1a n+1+2a n+2+3a n+3,得 c n+1-cn (a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2),即 An+2A n+1+3A n+2d 2 时 由此得 A n+2+2A n+3+3An+4d 2. -,得(A n-A n+2)+2(A n+1-A n+3)+3(A n+2-An+4)0. An-A n+20,A n+1-A n+30,A n+2-A n+40,由 ,得 An-A n+20(n1,2,3,).于是由 ,得 4An+2A n+1A n+2A n+1+3A n+2d 2, 从而 2An+4A n+14A n+1+2A n+2d 2. 由和 ,得 4An+2A n+12A n+4A n+1,故 A n+1A n,即 a n+2-a n+1a n+1-an(n1,2,3,),数列 cn是等差数列.
