1、导数的运算基础热身:1. 求下列函数导数(1) (2) )1(32xy )1(xy(3) (4)y= cosinxxsin22.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f(x)的图象可能是( )3.设 ,若 ,则 ( )()lnfx0()2fx0xA. B. C. D. 2eeln2ln2知识梳理:1.两个函数的和、差、积的求导法则和差的求导法则:( ).uv即:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的 (或 ). 积的求导法则: 即:两个函数的积的导数,.)等于 的导数乘以 , 加上 乘以 ;商求导法则:, = (v 0)即:两个函数的uv2等于 的导数乘以 , 减去 乘以
2、,再除以分母的平方.2. 复合函数的求导法则 形如 的函数称为复合函数.()()yfugx复合函数求导步骤:分解求导回代. 法则:y| = X 案例分析:例 1. (3x 21)(4x 23)=( )(4x 23)(3x 21) ( ) 利用导数的定义求函数 y= 的导数1x设函数 。若 是奇函数,求 。cos30fx/fxf例 2. 求所给函数的导数: y= .32log;yx;nxye31sinyxcosx2sin()3yx例 3. 设 是函数 的一个极值点.求 与 的关系x234,xfxabeRab式(用 表示 ) ,并求 的单调区间ab例 4.已知函数 ,求导函数 ,并确定 的单调区间
3、2()1xbf()fx()fx例 5.已知函数 的图象过点(-1,-6) ,且函数32()fxmnx()6gxfx的图象关于 y 轴对称.()求 m、 n 的值及函数 y=f(x)的单调区间;()若 a0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值 . 练习1 已知 f(x)= 其中 n 是正整数,则 f(0)等于( )101nnaxaxAa 0n! Ba 0 Ca n-1 D02 若 f(x)=x,则xf(x) 等于 ( )Axf(x)x Bf(x)x 2 Cx 2 Df(x)3 下列函数中,导数不等于 sin2x 的是 ( )1A2 cos2x B2 sin2x C sin2x
4、Dx cos2x141114函数 y=(2x21) 2的导数是 ( )A16x 34x 2 B4x 38x C16x 38x D16x 34x5曲线 y=4xx 2上有两点 A(4,0) ,B(2,4) ,若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦AB,则点 P 的坐标是 ( )A (3,3) B (1,3) C (6,12) D (2,4)6 设 y=tanx,则 y= ( )A B C D2cosx2sincox21x21x7设函数 ,集合 M= ,P= ,若 M P,则实数 a 的取()1af|()0f|()0f值范围是 ( )A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)
5、8曲线 过点(1,1)处的切线方程为 32yx已知 f(x)=lnx x2,则使导函数 f(x)0 的 x 的取值范围是 10函数 y=(1x)(1x 2)2的导数是 11曲线 y=x22x 与曲线 y=x 2 的共切线方程是 112.已知函数 的图象在点 M(1,f (x))处的切线方程为 x+2y+5=0.baf26)(()求函数 y=f(x)的解析式;()求函数 y=f(x)的单调区间.13已知函数 处取得极值,并且它2)(23xcbaxf 在的图象与直线 在点(1,0)处相切,求 a、b、c 的值.y14.已知 ,求证: .0xxex115. 设 ,点 P( ,0)是函数 的图象的一个
6、公共点,tt cbxgaxf 23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线.()用 表示 a,b,c ;t()若函数 在(1,3)上单调递减,求 的取值范围.)(xgfyt参考答案:基础热身:1.略2. 【标准答案】A【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负,所以只有答案 A 满足.【高考考点】导函数的意义【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系.3. 【标准答案】B 【试题解析】 lnfx 1lnlfxx由 得 ,选02f0012e例 1.例 2.例 3. f (x)x 2(a2)xb a e3 x,由 f (3)=0,得 3 2(a 2)3b a
7、 e3 30,即得 b32a,则 f (x)x 2(a2)x32a a e3 xx 2( a2)x 3 3a e3 x( x 3)(xa+1)e 3 x.令 f (x)0,得 x13 或 x2a1,当 a3x 1,则在区间(,3)上,f (x)0, f (x)为增函数;在区间(a1,)上,f (x)得 x2 或 x0,故 f(x)的单调递增区间是(,0) , (2,) ;由 f (x)0 得 0x2,故 f(x)的单调递减区间是(0,2).()由()得 f (x)3x (x-2),令 f (x)0 得 x=0 或 x=2.当 x 变化时,f (x)、f( x)的变化情况如下表:X (-.0)
8、0 (0,2) 2 (2,+ )f (x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值由此可得:当 0a1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(O)=-2,无极小值;当 a=1 时,f( x)在(a-1,a+1 )内无极值;当 1a3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)6,无极大值;当 a3 时,f(x )在(a-1,a+1)内无极值 .综上得:当 0a1 时,f(x)有极大值 2,无极小值,当 1a3 时,f(x) 有极小值6,无极大值;当 a=1 或 a3 时,f(x) 无极值.【试题解析】【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识
9、,考查运用导数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.【易错提醒】对于 a 的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.【高考学习网提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面的训练.练习:1 C2B 3DC A 6A7C 8. 9. (0,1)1014x6x 24x 35x 4提示:展开后求导11y=x 提示:写出两曲线的切线方程(含各自的切点坐标) ,两条切线表示同一条4直线时,比较系数即可12. (1)由函数 f(x)的图象在点 M(1f(1))处的 切线方程为 x+2y+5=0,知.)()6(2)(.21)(,
10、0522bxaaf f 即.),32( ;)32,3(;)32,(6.0;(, ,012.)3(6)( .3)1, 2122内 是 减 函 数在 内 是 增 函 数在内 是 减 函 数在所 以 时当 时或当 解 得令 是所 以 所 求 的 函 数 解 析 式 舍 去解 得 xf xfxfI fba13. 由曲线 过(1,0)得 又 +b 则fycbaaxf(41)baf 9 分. 解得 3(6,8,1c14. 设 上是),0(,)(0)(,0)(,) 在故时当则 xffxexffxexf增函数, 当 时,同理可证 ,综上所述当 时fx1),(即 x1ex115. (I)因为函数 , 的图象都过
11、点( ,0) ,所以 ,)(xfgt0)(tf即 .因为 所以 .03at,t2ta,)(2bcbg所 以即又因为 , 在点( ,0)处有相同的切线,所以xf)(gt ).(tgtf而 .23,2)(,3)(2 btatbxgaxf 所 以将 代入上式得 因此 故 , ,ta.t.3c2t.3tc(II)解法一 .)(,)(23 xxytxxfy 当 时,函数 单调递减.03(t )(gf由 ,若 ;若0ytx3,则 3,0txt则由题意,函数 在(1,3)上单调递减,则)(gf.,),()3,1( tt或所以 9.ttt 或即或又当 时,函数 在(1,3)上单调递减 .9)(xgfy所以 的取值范围为t .,(解法二: )(32,)( 323 txtxytxtxgfy 因为函数 在(1,3)上单调递减,且 是( )(y(1,3)上的抛物线,所以 即 解得.0|,31xy.0)(9t .39tt或所以 的取值范围为 t ,3,(