1、第 9课时 等差、等比数列的综合应用1.进一步熟悉等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式 .2.利用等差、等比数列的知识解决与数列相关的综合问题 .重点:利用等差、等比数列的性质解决数列问题 .难点:等差、等比数列的性质的应用 .前面我们共同学习了等差、等比数列的概念和通项公式以及前 n 项和公式,并了解了它们的性质及其应用,这一讲我们将共同探究等差、等比数列的综合应用,以及在实际问题中如何利用等差、等比数列建立数学模型 .问题 1:通项公式及其变形:(1)若 an是等差数列,则 an= a1+(n-1)d = am+(n-m)d ,d= . (2)若 an是等比数列,则 an= a1qn
2、-1 = amqn-m ,qn-m=. 通项公式的性质:(1)若 m+n=p+q,则 . (2)am,am+k,am+2k,am+3k,问题 2:前 n 项和 Sn 及其变形:(1)等差数列 Sn= = na1+d = nan-d . (2)等比数列 Sn= = (q1) . 前 n 项和 Sn 的简单性质:(1)等差: Sn=na1+= n2+(a1-)n ,故当 d0 时, Sn 是关于 n 的一个二次函数,它的图象是抛物线 y=x2+(a1-)x 上横坐标为正整数的一群孤立的点 .而 =n+(a1-)是关于 n 的一次函数( d0)或常数函数( d=0),即数列 是以为公差的等差数列 .
3、 (2)等比:当 q=1 时, Sn=na1 是一个关于 n 的一次函数;当 q1 时, Sn=+(-qn),令 A= ,B= - ,则Sn=A+Bqn,A+B=0. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,问题 3:与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 y=a(1+xr) . (2)银行储蓄复利公式:利息按复利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 y=a(1+r)x . (3)产值模型:原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,对于时间 x 的总产值 y=N(1+p)x . (4)分期付款
4、模型:a 为贷款总额, r 为月利率, b 为月等额本息还款数, n 为贷款月数,则 b=.(可尝试证明)问题 4:数列综合应用题的解题步骤(1) 审题 弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中 ,各是什么问题 . (2) 分解 把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小 “步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等 . (3) 求解 分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答 . (4) 还原 将所求结果还原到实际问题中 . 我国汉代有位大将,名叫韩信 .他每次集合部队,只要求部下先后按 13、1 5、1 7 报数,然后再报告一下各队每次报
5、数的余数,他就知道到了多少人 .他的这种巧妙算法,被人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理” .1.等差数列 an中, a1+a5=10,a4=7,则等差数列 an的公差为( ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】在等差数列 an中, a 1+a5=10, 2a3=10,a 3=5,又 a 4=7, 公差为 2.【答案】B2.在等比数列 an中, a1+a2=30,a3+a4=60,则 a9+a10 等于( ).A.120B.150 C.240 D.480【解析】由等比数列性质知 q2=2,所以 a9+a10=(a1+a2)q8=3024=480.【答案】
6、D3.已知数列 an中, a3=2,a7=1,若为等差数列,则 a11= . 【解析】由等差数列的性质知,成等差数列,则 =+,即 =+,解得 a11=.【答案】4.已知函数 f(x)=ax 的图象过点( 1,),且点( n-1,)(nN *)在函数 f(x)=ax 的图象上 .(1)求数列 an的通项公式;(2)令 bn=an+1-an,若数列 bn的前 n 项和为 Sn,求证: Sn0.85bn,有 250+(n-1)50400(1.08)n-10.85.由于 n是正整数,将 1,2,依次代入可得满足上述不等式的最小正整数 n=6,即到 2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房
7、面积的比例首次大于 85%.【小结】对应用题的审题一定要认真仔细,否则很容易出错 .三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数 .【解析】(法一)按等比数列设三个数,设原数列为 a,aq,aq2.由已知得 a,aq+4,aq2成等差数列,即 2(aq+4)=a+aq2;a,aq+4,aq2+32成等比数列,即( aq+4)2=a(aq2+32),即 aq+2=4a.联立 解得:或 这三个数为:2,6,18 或, -,.(法二)按等差数列设三个数,设原数列为 b-d,b-4,b+d,由已知:三个数成等比数列,即( b-4)2=
8、(b-d)(b+d),8b-d2=16.又 b-d,b,b+d+32成等比数列,即 b2=(b-d)(b+d+32)32b-d2-32d=0. 两式联立,解得:或 这三个数为, -,或 2,6,18.(法三)任意设三个未知数,设原数列为 a1,a2,a3,由 a1,a2,a3成等比数列,得: =a1a3.由 a1,a2+4,a3成等差数列,得:2( a2+4)=a1+a3.由 a1,a2+4,a3+32成等比数列,得:( a2+4)2=a1(a3+32).联立 ,解得:或已知等差数列 an,a3=3,a2+a7=12.(1)求等差数列 an的通项公式;(2)设 bn=n,求数列 bn的前 n
9、项和 .【解析】(1)由已知 a2+a7=12可得 a4+a5=12,又因为 a3=3,所以 a3+a4+a5=15,所以 a4=5,所以 d=a4-a3=2,a1=a3-2d=-1,所以 an=2n-3.(2)由(1)可知 bn=n22n-3,设数列 bn的前 n项和为 Tn,所以 Tn=12-1+221+323+n22n-3,4Tn=121+223+(n-1)22n-3+n22n-1,- 可得:-3Tn=2-1+21+23+22n-3-n22n-1=-n22n-1,所以 Tn=+=4n+.为了建设和谐社会,我国决定治理垃圾 .经调查,近 10 年来我国城市垃圾的年平均增长率为 3%,到 2
10、013 年底堆存垃圾已达 60 亿吨,侵占了约 5 亿平方米的土地,目前我国还以年产 1 亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓 .(1)问 2004 年我国城市垃圾约有多少亿吨?(2)如果从 2014 年起,每年处理上年堆存垃圾的,到 2019 年底,我国城市垃圾约有多少亿吨 ?可节约土地多少亿平方米?【解析】(1)设 2004年我国城市垃圾约有 a亿吨,则有a+a(1+3%)+a(1+3%)2+a(1+3%)9=60,a =60,a= 5 .2(亿吨) .(2)2014年底有垃圾 60+1亿吨;2015年底有垃圾(60 +1)+1=60+1;2016年底有垃圾(60 +1)+1=60+
11、1;2019年底有垃圾 60()6+()5+()4+1=60()6+36 .6(亿吨) .可节约土地 23.42(亿平方米) .1.如果在等差数列 an中, a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a7 等于( ).A.14 B.21 C.28 D.35【解析】在等差数列 an中, a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,a 3+a4+a5=3a4=12,a 4=4,a 1+a2+a7=7a4=74=28.【答案】C2.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=+f(x),xR,且 f(1)=,则数列 f(n)(nN *)的前 20 项的和为( ).A.305B.315 C.325 D.33
12、5【解析】由已知 f(x+1)-f(x)=,则数列 f(n)是首项为,公差为的等差数列,其前 20项和为 20+=335,故选 D.【答案】D3.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn=(2n-1)(n+p),则实数 p= . 【解析】 等差数列的前 n项和公式 Sn=na1+n(n-1)d=n2+(a1-)n=(2n-1)(n+p)=2n2+(2p-1)n-p,-p= 0,即 p=0.【答案】04.求数列(3 n-1)4n-1的前 n 项和 Sn.【解析】 Sn=240+54+842+(3n-1)4n-1,4Sn=24+542+(3n-4)4n-1+(3n-1)4n,- 得:3 Sn=-2
13、-3(4+42+4n-1)+(3n-1)4n=2+(3n-2)4n,所以 Sn=(n-)4n+.(2013 年陕西卷)设 Sn 表示数列 an的前 n 项和 .(1)若 an是等差数列,推导 Sn 的计算公式;(2)若 a1=1,q0,且对所有正整数 n,有 Sn=.判断 an是否为等比数列, 并证明你的结论 .【解析】(1)(法一)设等差数列 an的公差为 d,则:Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又 Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d, 2Sn=n(a1+an),S n=.(法二)设等差数列 an的公差为 d,则 Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又 Sn=an+an-1+a1=a1+(n-1)d+a1+(n-2)d+a1, 2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d=2na1+n(n-1)d,S n=na1+d.(2)an是等比数列 .证明如下:S n=,a n+1=Sn+1-Sn=-=qn.a 1=1,q0, 当 n1 时,有 =q,因此数列 an是首项为 1且公比为 q的等比数列 .
