1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数教学目标：使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念，掌 握 可 导 函 数 在 闭 区 间)(xf上 所 有 点 （ 包 括 端 点 ） 处 的 函 数 中 的 最 大 （ 或 最 小 ） 值 必有的充分条件；ba, ba,使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学过程：一创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果 是函数 的极大（小）值点
2、，那么在点 附近找不到0xyfx0x比 更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数0fx在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果 是函数的最大（小）值，那么 不0x0fx小（大）于函数 在相应区间上的所有函数值yfx二新课讲授观察图中一个定义在闭区间 上的函数ba,的图象图中 与 是极小值，)(xf )(1xf3f是极大值函数 在 上的最大值是2 ,，最小值是 )(bf3()fx1结论：一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲ba,()yfx线，那么函数 在 上必有最大值与最小值()yfx说明：如果在某一区间上函数 的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y
3、fx在这个区间上连续 （可以不给学生讲）()yfx给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一定有最大值(,)ab)(xf与最小值如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值；xf1)(),0(在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，x3x2x1 ba xOy函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分)(xfba,)(xfba,条件而非必要条件 （可以不给学生讲）2 “最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最
4、值是唯一的；而极值不唯一； 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数)(xf值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(fba,求 在 内的极值；x将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，)(f )(afbf最小的一个是最小值，得出函数 在
5、上的最值)(xf,三典例分析例 1 （课本例 5）求 在 的最大值与最小值 314f0,3解： 由例 4 可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为,2x()fx，又由于 ，4(2)3f0f31f因此，函数 在 的最大值是 4，最小值是 1xx0, 43上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验证34f ,3例 2求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值524y2解 ： 先求导数，得 x3/令 0 即 解 得/ 03x 1,0,132x导 数 的正负以及 ， 如下表)(f(fX -2 （ -2,-1） -1 （ -1,0） 0 （ 0,1） 1 （ 1,2） 2y/ 0 0 0 y=x4-
6、2x2+512108642-4-2 42 xOyy 13 4 5 4 13从上表知，当 时，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 2x 1x例 3已知 , (0,+).是否存在实数 ,使 同时满3()logaxbfab、 )(xf足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）f的最小值是 1，若存在，求出 ，若不存在，说明理由.)(xf ab、解：设 g(x)= 2f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+) 上是增函数g(x)在（0，1）上是减函数，在 1，+)上是增函数. 解得330baba经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件 .四课
7、堂练习1 下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数 y=f(x)在区间a,b上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f( x) ( )A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3函数 y= ，在1，1上的最小值为( )2341xA.0 B.2 C.1 D. 234 求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值54xy,5课本 练习五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充)(xfba,)(xfba,分条件而非必要条件；3闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最, ),(值 ， 若 有 唯 一 的 极 值 ， 则 此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 4利用导数求函数的最值方法六布置作业课本 P99 习题 3.3 A 组 6
