1、导数在研究函数中的应用 单元测试一、选择题1下列函数在 ()， 内为单调函数的是（ ） 2yx yx e sin答案：2函数 lnyx在区间 (01)，上是（ ）单调增函数单调减函数在 10e，上是单调减函数，在 1e，上是单调增函数在 上是单调增函数，在 上是单调减函数答案：3函数 23()(1fxx的极大值点是（ ） 45 1x 2x答案：4已知函数 32()fxpqx的图象与 x轴相切于 (10)，极大值为 427，极小值为（ ）极大值为 47，极小值为 0极大值为 0，极小值为 427极大值为 0，极小值为 5极大值为 527，极小值为 0答案：5函数 2cosyx在 02，上取最大值
2、时， x的值为（ ）0 6 3 2答案：6设函数 ()fx在定义域内可导， ()yfx的图象如图 1 所示，则导函数 yf的图象可能为（ ）答案：二、填空题7函数 2ln(0)yx的单调增区间为 答案： 12，8函数 2()ln3fxabx的极值点为 1x， 2，则 a ， b 答案： 12，9函数 42()5fx在 ，上单调递增，则实数 a的取值范围是 答案：410函数 32()5fxax在 ()， 上单调递增，则实数 a的取值范围是 答案： 13，11函数 543()1fxx在 2，上的值域为 答案： 102，12在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱
3、，尺寸如图 2 所示当 x为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 答案：3654a，三、解答题13已知 0x，证明不等式 ln(1)x证明：原不等式等价于证明 l()0设 ()ln(1)fxx，则 1)xf0， 0f ()fx在 ()， 上是单调增函数又 ln1，()0f即 l()0x，亦即 ln(1)x14已知函数 32()fxabx在 处有极小值 ，试求 ab，的值，并求出 ()fx的单调区间解：由已知，可得 (1)321fab，又 2()36fxax， 10fb， 由，解得 132a故函数的解析式为 ()fxx由此得 2()1fx，根据二次函数的性质，当 13x或 时， ()0fx；当 1
4、3， 0f因此函数的单调增区间为 3， 和 (1)， ，函数的单调减区间为 13，15已知某工厂生产 x件产品的成本为 2125040Cx（元） ，问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为 y元，则2125050440xxx，25014yx，令 0得 1x当在 附近左侧时 y；在 10x附近右侧时 0，故当 10x时， y取极小值，而函数只有一个点使 0y，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产 1000 件产品（2）利润函数为2252350404xSxxx， 302xS，令 0S，得 60x，当在 6附近左侧时 S；在 6附近右侧时 ，故当 时， 取极大值，而函数只有一个点使 ，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产 6000 件产品
