1、课 题： 31 导数的概念（一）曲线的切线教学目的：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是
2、法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在 1687 年以前没有公开发表，莱布尼兹在 1684 年和 1686 年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布
3、尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流教学过程：一、复习引入： 圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个 公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：曲线的切线如图，设曲线 c 是函数 的图象，()yfx 点是曲线 c 上一点作割线 PQ 当点 Q 0(,)Pxy 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋 近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 y=f(x)xyQMP xOy切xOy
4、2.确定曲线 c 在点 处的切线斜率的方法：0(,)Pxy因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为 ，切线 PT 的倾斜角为 ，既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线，所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ,即tan =0limxy0lix()(fxf我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例 1 曲线的方程为 y=x2+1，那么求此曲线在点 P(1，2) 处的切线的斜率，以及切线
5、的方程.解：k= ffx)(lim002200(1)(1)(1)lilix xffx200()lili()xx切线的斜率为 2.切线的方程为 y2=2(x 1)，即 y=2x. 例 2 求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点(1，4)处的切线方程.解:k= fffxx )1(lim)(lim000330(1)2()1(2)lix 2305()lixx 20lim53()5xx切线的方程为 y4=5(x 1)，即 y=5x1例 3 求曲线 f(x)= x3x 2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率 k=tan ，求出倾斜角 .解：tan =
6、xffxffxx )1(lim)(lim000y=x2+1 y=2xP(1,2) xOyy=x3+2x+1 y=5x-1P(1,4) xOy32011()()5()3limx x30()lix 20li()1x 0， ， = .)4切线的倾斜角为 .3例 4 求曲线 y=sinx 在点( )处的切线方程.21,6解：k= xxffxx 6sin)sin(lm)(lim00 0131cosin22lixx00cos13sinlilm2x x20si13lmx20i1lm()x122切线方程是 ，)6(3xy即 2123x例 5 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3，求点 P 的坐标.解：设点
7、P 的坐标(x 0，x 03)斜率 3= ffx(lim0300()limxx223003()lix2200li()x3x 02=3，x 0=1P 点的坐标是(1，1) 或(1，1) 四、课堂练习：1已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1) 点 A 处的切线的斜率.(2) 点 A 处的切线方程.解：(1)k= xffxx 200 1)(2lim)(lim4)(li)(24li00xx点 A 处的切线的斜率为 4.(2)点 A 处的切线方程是 y2=4(x1)即 y=4x22.求曲线 y=x2+1 在点 P(2，5) 处的切线方程.解：k= ff xx 1)2()(lim)lim200 4)(li)(4li 020xx切线方程是 y5=4(x+2)，即 y=4x3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、小结 ：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程 六、课后作业：1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y= +2, x处 （）y ，x处3 1答案：(1)k=， （）k=七、板书设计（略）八、课后记：
