1、小专题( 八) 教材 P90 习题第 14 题的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第 90 页第 14 题) 如图， A，P，B ，C 是O 上的四个点，APC CPB 60，判断ABC 的形状，并证明你的结论1如图，延长 BP 至 E，若EPACPA，判断ABC 的形状并证明你的结论2如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，DBDC.求证：AD 是ABC 外角EAC 的平分线3如图，A，P ，B ，C 是半径为 8 的O 上的四点，且满足BACAPC 60.(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD.来源:学优高考网 gkstk4如图，ABC 内接于
2、O，P 为弧 AB 上异于 A，B 两点的一动点时，当ABC 满足什么条件时，PA 能否平分BPC 的外角CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由来源:学优高考网 gkstk5(1)如图 1，ABC 内接于 O ，AD 为BAC 的平分线，过 D 作 DE 垂直于 AB 于 E，AE 与ABC 的两边AB，AC 有怎样的关系呢？(2)如图 2，若 AD 为ABC 的外角CAG 的平分线时， AE 与ABC 的两边 AB，AC 又有怎样的关系呢？6如图，平面直角坐标系中，O为 y 轴上一点，O 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点直线 AE 交O 于 F 点，连接 FC.过 C
3、 作 CH 垂直 AF 交其延长线于 H.试问：当点 F 在弧 AC 上运动时，FBFA 与 FH 的比值是否为定值？并说明理由7如图，ABC 的三个顶点均在O 上，BAC 与ABC 的平分线相交于点 I，延长 AI 交O 于点 D，连接BD，DC.来源:学优高考网(1)求证：BD DCDI；(2)若O 的半径为 10 cm， BAC120，求BDC 的面积参考答案例 证明：因为APCABC，CPBBAC，又因为APC CPB60.所以ABCBAC60.于是ACB60.所以ABC 为等边三角形 来源:gkstk.Com1.ABC 是等腰三角形，理由：因为CPA ABC，四边形 APBC 是圆内
4、接四边形，所以EPAACB.因为EPACPA，所以ACBABC.所以 ABAC.故ABC 是等腰三角形 2.证明：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，DCBDAB180.又DAE DAB180，DCBEAD.DBDC ，DBCDCB.DBCDAC，DACEAD.AD 平分EAC. 来源:学优高考网3.(1)证明：ABC APC60，BACAPC60，ABCBAC60.ABC 是等边三角形(2)连接 OB、OC.可得BOC2BAC260120.OBOC ，OBDOCD (180120)30.12ODB90，OD OB4. 124.当 ABAC 时，PA 平分BPC 的外角CPE.理由：ABAC
5、 ，ABCACB，又APEAPB180，ACBAPB180，APEACB. 又APCABC，APEAPC.即 ABAC 时，PA 平分BPC 的外角CPE. 5.(1)AE (ABAC)12理由：在 AB 上截取 AFAC ，连接 BD、CD 、FD.FAD CAD，AD AD，FAD CAD.于是 FD CD.又BDCD，FDBD. 在 RtBDE 与 RtFDE 中，DEDE，RtBDE RtFDE.于是 BEFE.AEABBE， AE AFFE. 得 2AEABAC，AE (ABAC)12(2)当 AD 为外角CAG 的平分线时，AE (ACAB)12理由：作 DFAC 于点 F.AD
6、为CAG 的平分线，DEAB，所以 DEDF ，又DCBGADDACDBC.DBDC.EBDFCD.BECF. 易证 EAD FAD，AEAF.ACAB AFCF (BEAE)AF CF BEAE2AE. 即 AE (ACAB) 126.过 C 作 CM 垂直 FB 于 M，直径 CDAB， .于是 ACBC ，AC BC EFCCBACABCFB. 从而 FC 为EFB 的平分线CHFE ，CMFB，CHCM.又FC FC ，RtCHFRtCMF.FHFM，CHCM，于是ACH BCM.AHBM.从而 FBFA (FM MB) (AH HF)(MBAH)(FMFH)2FH.FB FA 与 F
7、H 的比值是 2. 7.(1)证明：AI 平分BAC，BADDAC，BDDC.BI 平分ABC，ABICBI.BADDAC，DBCDAC，BADDBC.又DBIDBC CBI ，DIBABI BAD，DBIDIB.BDI 为等腰三角形BDID，BDDC DI.(2)BAC120，AD 平分BAC，BADDAC60.DBCDAC60.BDDC ，BDC 为等边三角形过点 D 作 DHBC ，交 BC 于 H，所以 DH 过圆心，HDC30，HCO30.连接OC.则 OH OC 105(cm)在 RtOHC 中，利用勾股定理可得12 12CH 5 (cm)由垂径定理可得 BC2CH10 cm.CO2 HO2 102 52 3 3S BDC 1575 (cm2)答：BDC 的面积为 75 cm2.1032 3 3
