1、21圆的基本性质（解答题）三、解答题85.（2009 柳州）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE于点 F（1）求证：CFBF；（2）若 AD2 ，O 的半径为 3，求 BC的长 【关键词】圆证明：（1） 连结 AC，如图。C 是弧 BD的中点 BDCDBC 又BDCBAC在三角形 ABC中，ACB90，CEAB BCEBAC BCEDBC CFBF 因此，CFBF （2）证法一：作 CGAD 于点 G，C 是弧 BD的中点 CAGBAC ， 即 AC是BAD 的角平分线 CECG，AEAG 在 RtBCE 与 RtDCG 中，CECG ， CBC
2、DRtBCERtDCGBEDG AEAB-BEAGAD+DG即 6-BE2+DG 2BE4，即 BE2 又 BCEBAC 212BCEA3（舍去负值） （2）证法二：AB 是O 的直径，CEABBEF 90ADB，在 Rt 与 tFE 中， ，则 BA 即 BFE62， 3 又 C， EF利用勾股定理得： 22又EBCECA则 CEBA，即则 BEA2 F)6()(2即 F23 2E 32CB. 86.(2009年四川省内江市)如图，四边形 ABCD内接于圆，对角线 AC与 BD相交于点 E、F在 AC上，ABAD，BFCBAD2DFC.求证：（1）CDDF；（2）BC2CD【关键词】三角形全
3、等的判定.【答案】证：（1）设DFC，则BAD2在ABD 中，ABAD， ABDADBABD12（180-BAD）90-又FCDABD90-FCD+DFC90CDDF（2）过 F作 FGBC 于 G在FGC 和FDC 中 ，FCGADBABDFCDFGCFDC90,FCFCFGCFDCGCCD 且GFCDFC又BFC2DFCGFBGFCBC2GC， BC2CD.87（2009 年甘肃庆阳）（10 分）如图，在边长为 2的圆内接正方形 ABCD中，AC 是对角线，P 为边 CD的中点，延长 AP交圆于点 E（1）E 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦 DE的长
4、【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形【答案】本小题满分 10分解：（1）45（2）ACPDEP理由：AEDACD，APCDPE， ACPDEP（3）方法一： ACPDEP， .APCDE又 AP 52，AC 22， DE 510方法二：如图 2，过点 D作 FAE于点 在 RtAP 中， AP 25,P又 1S ， DF 52 5102DFE88.(2009年衢州）如图，AD 是O 的直径(1) 如图，垂直于 AD的两条弦 B1C1，B 2C2把圆周 4等分，则B 1的度数是 ，B 2的度数是 ；(2) 如图，垂直于 AD的三条弦 B1C1，B 2C2，B 3C3把圆周 6等分，分别求B 1，
5、B 2，B 3的度数；(3) 如图，垂直于 AD的 n条弦 B1C1，B 2C2，B 3 C3，B nCn把圆周 2n等分，请你用含n的代数式表示B n的度数(只需直接写出答案)【关键词】开放性试题【答案】解：(1) 22.5，67.5(2) 圆周被 6等分， A1BC 12 A33606 60 直径 ADB 1C1， 1 30， B 1 m2A1C15B 2 mA2 (3060)45，B 3 3C (306060)75(3) 160360(1)22nBn(945)n(或 4598) 89. （2009 年广州市）如图，在O 中，ACBBDC60，AC cm32，（1）求BAC 的度数； （2
6、）求O 的周长【关键词】圆【答案】90.（2009 年广西钦州）（2）已知：如图 2，O 1与坐标轴交于 A（1，0）、B（5，0）两点，点 O1的纵坐标为 5求O 1的半径 B A O 图 2 xy1【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系【答案】（2）解：过点 O1作 O1CAB，垂足为 C，则有 ACBC B A O 图 2 xy1由 A（1，0）、B（5，0），得 AB4，AC2在 RtC 中， O 1的纵坐标为 5，O 1C O 1的半径 O1A 221()C391(2009 年南充)如图 8，半圆的直径 10AB，点 C在半圆上， 6B（1）求弦 的长；（2）若 P为 AB的中点， P
7、E 交 于点 E，求 P的长P BCEA【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解： AB是半圆的直径，点 C在半圆上，90C在 Rt 中， 221068 （2） PE ，90A 9AB，C又 ，EP ，AB10268354PE92（2009 年哈尔滨）如图，在O 中，D、E 分别为半径 OA、OB 上的点，且 ADBE点 C为弧 AB上一点，连接 CD、CE、CO，AOCBOC求证：CDCE【关键词】圆的半径，圆心角【答案】此题证明OCD 与OCE 全等即可，给出了一对角相等，再利用半径相等的性质即可得证OABDE， ，即 O93（2009 年中山）（1）如图 1，圆心接 ABC 中，
8、CA， OD、 E为的半径， BC于点 F， E于点 G，求证：阴影部分四边形 G的面积是 的面积的 13（2）如图 2，若 DO保持 120角度不变，OBCA求证：当 DOE绕着 点旋转时，由两条半径和 ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是 ABC 的面积的 13【关键词】圆的内接三角形【答案】（1）如图 1，连结 OAC， ，因为点 O是等边三角形 ABC的外心，所以 RttRtFGOA 2CGCOASS ，因为 13OAB ，所以 FCGC （2）解法一：连结 ， 和 ，则 AOCBOA ， 12，不妨设 OD交 B于点 ， E交 于点 G，341205420AD，5在
9、G 和 CF 中，135OA， ， F ，13OFCGAABCSS 解法二：不妨设 OD交 BC于点 F， OE交 AC于点 G，作 HK， ，垂足分别为 HK、 ，在四边形 中， 906， ，3609612-，即 12又 GOF，ACB，HK， F ，13OFCGABCSS在 ODC 和 E 中，ODEC 94.（2009 年广州市）如图，在O 中，ACBBDC60，AC cm32，（1）求BAC 的度数； （2）求O 的周长【关键词】圆【答案】95. （2009 年株洲市）（本题满分 10分）如图，点 A、 B、 C是 OA上的三点，/ABOC.（1）求证： 平分 AB.（2）过点 作 E
10、于点 ，交 C于点 P. 若， 30，求 P的长【关键词】与圆有关的综合题【答案】（1） /ABOC， BAC； O， COA 即 平分 . （2） E 12E 又 30E， 90P60OA 30PA， 12PA，设 x，则 2Ax，根据勾股定理得 221()x，解得 x（或者用 tanE）即 PE的长是 3.97.(2009年潍坊)如图所示，圆 O是 ABC 的外接圆， BAC与 的平分线相交于点 I，延长 AI交圆 于点 D，连结 、 （1）求证： BCI；（2）若圆 O的半径为 10cm， 120，求 D 的面积（1）证明： AI平分 BCBDD，I平分 I， A，A，又 BBIDABI
11、D，BII， 为等腰三角形DCD，（2）解：当 120时， A 为钝角三角形，圆心 O在 A 外，连结 B、 、 ， B，60DC，为正三角形 又知 1cmOB， 32sin60210cm223()754BDCS.答： BDC 的面积为 753cm2 98.（09 湖北宜昌）已知：如图，O 的直径 AD2， ABCDE，BAE90(1)求CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P落在四边形 ABCD区域的概率是多少？ 【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角【答案】解：（1）AD 为O 的直径，ACDBAE90 ABCDE， BACCADDAE BACCADDAE
12、 30在 RtACD 中，AD2，CD2sin301， AC2cos30 3 S ACD 1ACCD 3 (2) 连 BD，ABD90， BAD 60，BDABCA 30，BABC.作 BFAC，垂足为 F，（5 分）AF 12AC 3 ，BFAFtan30 12 ，S ABC ACBF 4 ， S ABCD 34 S O ，P 点落在四边形 ABCD区域的概率3 4（2）解法 2：作 CMAD，垂足为 M BCACAD（证明过程见解法），BCAD四边形 ABCD为等腰梯形CMACsin30 32，S ABCD 12(BC+AD)CM 34S O ， P 点落在四边形 ABCD区域的概率 34
13、99.(2009年黄冈市)如图，已知 AB是O 的直径，点 C是O 上一点，连结 BC，AC，过点C作直线 CDAB 于点 D，点 E是 AB上一点，直线 CE交O 于点 F，连结 BF，与直线 CD交于点 G求证： BF2.【关键词】圆周角性质 【答案】AB 是O 的直径，ACB90又CDAB 于点 D，BCD90ABCAFBCD F，FBCCBGFBCCBG CBFG 2100. （2009 襄樊市）如图 12，已知：在 OA中，直径 4B， 点 E是 OA上任意一点，过 E作弦 CDAB， 点 F是 C上一点，连接 F交 C于 H， 连接 AC、CF、BD、OD（1）求证： H ；（2）
14、猜想： 与 E的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点 E位于何处时， 14?AECBODS :并加以说明证明：（1）直径 ABCD AC FH又 （2）答： AEBA,连接 F B是直径， 90FH 又 E RttAFB H（3）当 32OE（或 1）时， 14AECBODS :直径 ABCD 12EBODS ， 4ACBOD 的半径为 2 14E 32101.（2009 湖北省荆门市）如图，半径为 2 5的O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P点（1）求证：PAPBPCPD； （2）设 BC中点为 F，连接 FP并延长交 AD于 E，求证：EFAD；（3）若 AB8，CD6，
15、求 OP的长解:（1）A、C 所对的圆弧相同，ACRtAPDRtCPB， APDCB，PAPBPCPD；（2）F 为 BC中点，BPC 为 Rt，FPFC，CCPF又CA，DPECPF，ADPEAD90，DPED90EFAD（3）作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，由垂径定理：OM 2（2 5） 24 24，ON 2（2 5） 23 211又易证四边形 MONP是矩形，OP 21ON.102. 44.（2009 年泸州）如图，在ABC 中，ABBC，以 AB为直径的O 与 AC交于点 D，过 D作 DFBC， 交 AB的延长线于 E，垂足为 F(1)求证：直线 DE是O 的切线；(2)当
16、AB5，AC8 时，求 cosE的值【关键词】三角函数及切线的判定.【答案】(1)如图,连结 OD、BD.AB 是O 的直径,ADB90,BDAC.ABBC,ADDC.OAOB,ODBC,DEBC,ODDE,直线 DE是O 的切线.(2)作 DHAB,垂足为 H,则EDH+E90,又DEOD,ODH+EDH90,EODH,ADDC,AC8,AD4.在 RtADB 中, 34522ADB,由三角形面积公式得:ABDHDBDA,即 5DH43,解得 512DH,在 RtODH 中,cosODH 5.21 4,cosE 254.103. （2 009 年 常 德 市 ）如图， ABC内接于O，AD
17、是 ABC的边 BC上的高，AE 是O的直径，连接 BE， ABE与 ADC相似吗？请证明你的结论【关键词】圆【答案】 ABE 与 ADC相似理由如下：在 ABE与 ADC中AE 是O 的直径， ABE90 o，AD 是 ABC的边 BC上的高，ADC90 o， ABEADC又同弧所对的圆周角相等， BEADCA ABE ADC104.如图，A、P、B、C 是O 上的四点，APC BPC 60，AB 与 PC交于 Q点（1）判断ABC 的形状，并证明你的结论；（2）求证： Q；（3）若ABP 15，ABC 的面积为 4 3，求 PC的长解:（1） 证明: ABC APC 60，BAC BPC
18、60， ACB 180ABCBAC 60 ， ABC 是等边三角形（2）如图，过 B作 BDPA 交 PC于 D，则 BDP APC 60又 AQP BQD， AQPBQD， BDAPQ BPD BDP 60， PB BD PBA（3）设正ABC 的高为 h，则 h BC sin 60 21BC h 4 3，即 BC BC sin 60 4 ，解得 BC 4连接 OB，OC，OP，作 OEBC 于 E由ABC 是正三角形知BOC 120，从而得OCE 30， 340cosCEO由ABP 15 得 PBC ABC +ABP 75 ，于是 POC 2PBC 150 PCO （180150 ） 2
19、15如图，作等腰直角RMN，在直角边 RM上取点 G，使GNM 15，则RNG 30，作GHRN，垂足为 H设 GH 1，则 cosGNM cos15 MN 在 RtGHN 中，NH GN cos30，GH GN sin30于是 RH GH，MN RN sin45， cos15 462在图中，作 OFPC 于 E， PC 2FD 2 OC cos15 32105.(2009年福建省泉州市)已知：直线 ykx(k0)经过点（3，-4）.(1)求 k的值；(2)将该直线向上平移 m（m0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6的O 相离（点 O为坐标原点）,试求 m的取值范围.【关键词】直线与O 相离【答案】解：（1）依题意得：-43k，k 34 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线 l所对应的函数关系式为 y 34x+m(m0) 设直线 l与 x轴、y 轴分别交于点 A、B，（如图所示）当 x0 时，ym;当 y0 时，x 43m.A( 43m,0),B(0,m)，即 OA m，OBm在 RtOAB 中，AB 2OBA 2 m451692过点 O作 ODAB 于 D，S ABO ODAB OAOB 21OD m45 21 3mmm0,解得 OD m依题意得： 5m6，解得 m 10即 m的取值范围为 m10.学 优中;考|，网
