1、19特殊平行四边形（解答题）三解答题1（2009 年湖北十堰市）如图，四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点，DEAG 于点 E，BFAG 于点 F. (1) 求证：DE BF = EF(2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图 中画出图形，写出此时DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明）【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似【答案】(1) 证明: 四边形 ABCD 是正方形, BFAG , DEAG DA=AB ， BAF + DAE = DAE
2、+ ADE = 90 BAF = ADE ABF DAE BF = AE , AF = DE DEBF = AF AE = EF (2）EF = 2FG 理由如下： ABBC , BFAG , AB =2 BG AFB BFG ABG 2FGBA AF = 2BF , BF = 2 FG 由(1)知, AE = BF， EF = BF = 2 FG (3) 如图 DE + BF = EF 说明:第（2）问不先下结论，只要解答正确，给满分 .若只有正确结论，.2（2009 年山东青岛市）已知：如图，在 ABCD中，AE 是 BC 边上的高，将ABE沿 C方向平移，使点 E 与点 C 重合，得 G
3、F (1）求证： DG；(2）若 60，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 AB是菱形？证明你的结论【关键词】全等 三角形的性质与判定、菱形的性质与判定【答案】证明：（1）四边形 ABCD是平行四边形， ABCD E是 边上的高，且 G是由 E沿 方向平移而成 G 90 ， Rtt BD(2）当 32CA时，四边形 BFC是菱形 GF ， ，四边形 是平行四边形 RtE 中， 60， 3B， 12A CFB， ， E AB四边形 G是菱形3（2009 年佛山市）如图，在正方形 ABCD中， EF若 10cmC，求DF的长【关键词】正方形知识的综合应用【答案】解（略）注：证明 BCE
4、DF ，给5分；根据三角形全等得 10DF，给1分DF CBEAA DGCB FE4（2009 年佛山市）（1）列式： x与 20的差不小于 ；(2）若（1）中的 x（单位： cm）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加 2cm，则正方形的面积至少增加多少？【关键词】正方形的性质，及不等式综合应用【答案】（1） 20x ；（化为 20x 扣 1 分）（2 ）面积增加2 2()48(c)x（列式 2 分，整理 1 分，不等关系 1 分）答：面积至少增加 m5（2009 年佳木斯）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置，AB与 CD 交于点 E.(1）试找出
5、一个与AED 全等的三角形，并加以证明.(2）若 AB=8，DE =3，P 为线段 AC 上的任意一点，PGAE 于 G，PHEC 于 H，试求PG+PH 的值，并说明理由.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定【答案】（1）AEDCEB证明：四边形 ABCD 是矩形，BC=BC=AD，B=B =D又BEC=DEAAEDCEB(2）延长 HP 交 AB 于 M，则 PMAB1=2，PGAB PM=PGCDAB2=31=3AE=CH=8-3=5在 RtADE 中，DE=3AD= 235=4PH+PM =ADPG+PH=AD =4.6 (2009 年达州)如图 7，在ABC 中，AB2BC，点 D
6、、点 E 分别为 AB、AC 的中点，连结 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE.试判断四边形 BCFD 的形状，并说明理由.【关键词】菱形的判定【答案】解：四边形 BCFD 是菱形，理由如下：点 D、点 E 分别是 AB、AC 的中点DE 12BC 又CFE 是由ADE 旋转而得DE= EFDF BC四边形 BCFD 是平行四边形又AB=2BC，且点 D 为 AB 的中点BD= BC BCFD 是菱形7（2009 年中山）如图所示，在矩形 ABCD中， 12AC， =0，两条对角线相交于点 O以 B、 C为邻边作第 1 个平行四边形 O，对角线相交于点 1，再以1A、 为邻边作第
7、 2 个平行四边形 1，对角线相交于点 ；再以 OB、为邻边作第 3 个平行四边形 2B依次类推（1）求矩形 ABCD的面积；(2）求第 1 个平行四边形 OB、第 2 个平行四边形 1和第 6 个平行四边形的面积【关键词】矩形、平行四边形有关的计算【答案】（1）在 RtAC 中，22016B，9ACDS矩 形(2） 矩形 ，对角线相交于点 O，4ABOB四边形 1是平行四边形， 1C ， ，11BBC，又 ， 1O ，1296BCBACDSS，同理， 11 482AOABC，第 6 个平行四边形的面积为 63D8（2009 肇庆）如图 5，ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O
8、，30ACDB， （1）求证：ABD 是正三角形； (2）求 AC 的长（结果可保留根号） 【关键词】菱形【答案】(1）证明：AC 是菱形 ABCD 的对角线，AC 平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD 与BCD 是菱形的一组对角，BAD=BCD=60 AB、AD 是菱形的两条边， ABD ABD 是正三角形(2）解：O 为菱形对角线的交点， 123902ACDCO， ， 在 Rt 中， tanta， 3tan0， 26ACO，答 AC的长为 639（2009 肇庆）如图 ，ABCD 是正方形G 是 BC 上的一点，DEAG 于 E，BFAG于 F （1）求证： ABFDE ； (
9、2）求证： DEF【关键词】正方形【答案】证明：（1）DE AG，BFAG， AED=AFB=90 ABCD 是正方形，DEAG， A DEFCGBODCBABAF +DAE=90 ，ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形 ABCD 中，AB=AD在 ABF 与DAE 中，AFB = DEA=90，BAF =ADE ，AB=DA，ABF DAE (2）ABFDAE ，AE=BF，DE =AF 又 AF=AE+EF，AF=EF+FB，DE=EF+FB10（2009 年广西钦州）（1）已知：如图 1，在矩形 ABCD 中，AFBE求证：DECF；【关键词】矩形性质、全等三角形判定AD
10、 C B 图 1 F E 【答案】证明：AFBE ，EFEF ，AEBF四边形 ABCD 是矩形，AB 90，ADBC DAECBF11（2009 年广西梧州）如图，ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CEAB 交 MN 于 E，连结 AE、CD(1）求证：ADCE；(2）填空：四边形 ADCE 的形状是 【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定【答案】(1）证明：MN 是 AC 的垂直平分线OAOC AODEOC=90CEAB DAO ECO ADO CEO ADCE (2）四边形 ADCE 是菱形DECF；12 (2009 年宜宾）已知：如图，四
11、边形 ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线DBCAENMOEF，交 AD 于点 M，交 CD 的延长线于点 F.(1）求证：AM=DM ；(2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周长图21图图A BCDEFM【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定【答案】（1）略证：四边形 ABCD 是菱形，ABCD,AB =AD. ACEF ,AM=AE. AE= 21AB, AM= 21AD.AM=DM.(2）提示:证明AMEDMF.DF=AE=2.菱形 ABCD 的周长为 16.13（2009 年日照市）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD交 B
12、C 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG(1）求证：EG=CG；(2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 (3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）【关键词】正方形,图形的全等，【答案】解：（1）证明：在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= 12FD同理，在 RtDEF 中， EG= 2FD CG=EG (2）（1）中结论仍然成立，即
13、 EG=CG证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点FBA DCEG第 24 题图DFBA DCEG第 24 题图FBACE第 24 题图在DAG 与 DCG 中， AD=CD，ADG=CDG ，DG=DG， DAG DCG AG=CG 在DMG 与FNG 中， DGM =FGN，FG =DG，MDG=NFG， DMG FNG MG =NG在矩形 AENM 中，AM =EN 在 RtAMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC， 在DC
14、G 与FMG 中，FG=DG ， MGF=CGD，MG =CG，DCG FMGMF=CD，FMG DCG MFCD AB EFM在 RtMFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE CBMECMEFFECCEBCEF 90 MEC 为直角三角形 MG = CG， EG= 21MC EGC(3）（1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有: EGCG14（2009 年河南）如图，在 RtABC 中，ACB=90, B =60，BC=2点 0 是 AC的中点，过点 0 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 0 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D.过点 C 作
15、 CEAB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为 .(1)当 =_度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为_；当 =_度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为_；FBA DCE图GFBA DCEGMNN图 （一）FBA DCEGM图 （二）(2)当 =90时,判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由【关键词】动态四边形【答案】（1）30，1；60，1.5； (2）当=90 0时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0，BC /ED.CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形. 在 RtABC 中，ACB=90 0，B=60 0,BC=2,A=30
16、 0.AB=4,AC=2 3.AO= 12C= . 在 RtAOD 中，A =300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 15（2009 年孝感） 三个牧童 A、 B、 C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：每个人看守的牧场面积相等；在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等按照这一原则，他们先设计了一种如图 1 的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧
17、场过了一段时间，牧童 B 和牧童 C 又分别提出了新的划分方案牧童 B 的划分方案如图 2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心牧童 C 的划分方案如图 3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等请回答：(1）牧童 B 的划分方案中，牧童 (填 A、 B 或 C）在有情况时所需走的最大距离较远；（3 分）(2）牧童 C 的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为 2）（5 分）【关键词】方案设计【答案】（1） C ； 3 分(2）牧童 C 的划分方案不符合他们商量的划分原则 4 分理由
18、如下：如图，在正方形 DEFG 中，四边形 HENM、 MNFP、 DHPG 都是矩形，且 HN=NP=HG可知 EN=NF，S 矩形 HENM S 矩形 MNFP 5分取正方形边长为 2，设 HD=x，则 HE=2x.在 RtHEN 和 RtDHG 中，由 HN=HG 得： EH2+EN2=DH2+DG2 ，即： ()1x解得， 4 1724HE 7 分S 矩形 HENM = S 矩形 MNFP = 4，S 矩形 DHPG = 124S 矩形 HENM S矩形 DHPG牧童 C 的划分方案不符合他们商量的划分原则16（2009 年娄底）如图，在ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点，
19、连结 AD，在 AD 的延长线上取一点 E，连结 BE，CE.(1）求证：ABEACE(2）当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.【关键词】全等、四边形【答案】（1）证明：AB=AC 点 D 为 BC 的中点BAE =CAE AE=AEABE ACE（SAS）(2）当 AE=2AD（或 AD=DE 或 DE= 12AE）时，四边形 ABEC 是菱形理由如下：AE=2AD，AD=DE又点 D 为 BC 中点，BD=CD四边形 ABEC 为平行四形边AB=AC四边形 ABEC 为菱形17（2009 恩施市）两个完全相同的矩形纸片 ABCD、 FE如图 7 放
20、置，ABF，求证：四边形 BNM为菱形【关键词】菱形的判定、全等【答案】证明: 四边形 ABCD、BFDE 是矩形BMDN ,DMBN 四边形 BNDM 是平行四边形 又AB=BF=ED,A=E=90AMB =EMDABM EDM BM=DM 平行四边形 BNDM 是菱形NMFEDCBA18(2009 年义乌)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP=x，现将纸片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点）CDEMABF N，再将纸片还原。(1）当 x=0时，折痕 EF 的长为 #.；当点 E 与点A 重合时，折
21、痕 EF 的长为 .；(2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x的取值范围，并求出当 x=2时菱形的边长；(3）令 yEF，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出 y与 x的函数关系式。当y取最大值时，判断 AP与 B是否相似？若相似，求出 的值；若不相似，请说明理由。温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！【关键词】矩形、菱形与函数的综合【答案】解：（1）3， 2(2） x 当 2时，如图 1，连接 DEPF、 ，EF为折痕， ，令 P为 m，则 2A，在 Rt 中， 2，21()，解得 54，此时菱形边长为 54(3）如图 2，过 E作 HBC ，易证 FDPA ， 3x
22、2229yD C(F)HBA PE OD CFBA PE O HD CBA PEF图 1当 F与点 C重合时，如图 3，连接 PF，PD， 21B，032x 显然，函数 9yx的值在 y轴的右侧随 x的增大而增大，当 x时， 有最大值此时 0EPF， APBF 综上所述，当 y取最大值时， E ， 32x（ 90EPF不写不扣分）19 (2009 年金华市) (本题 10 分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点 .(1)已知点 A(3,1)，连结 OA，平移线段 OA，使点 O 落在点 B.设点 A 落在点 C,作如下探究：探究一：若点 B 的坐标为(1， 2)，请在图 1 中作出平移后的像，
23、则点 C 的坐标是 ；连结 AC，BO，请判断 O， A，C，B 四点构成的图形的形状，并说明理由；探究二：若点 B 的坐标为(6， 2)，按探究一的方法,判断 O，A，B,C 四点构成的图形的形状.(温馨提示: 作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔 !）(2)通过上面的探究，请直接回答下列问题：若已知三点 A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，顺次连结 O，A，C ，B，请判断所得到的图形的形状；在的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d 应满足的关系式.答案：(1)探究一： C (4，3) ，1 分图正确得 2 分，图略2 分
24、四边形 OACB 为平行四边形，1 分yBAO x图 11 xOABy图 21理由如下：由平移可知，OABC，且 OA=BC，所以四边形 OACB 为平行四边形.2 分探究二：线段1 分(2) 平行四边形或线段2 分菱形：a 2+b2=c2+d2 (a=c，b=d 除外）正方形：a=d 且 b=c 或 b=c 且 a=d1 分(写出菱形需满足的条件或写出正方形需满足的条件其中一种即可给分)20(2009 年营口市)如图 1，P 是线段 AB 上的一点，在 AB 的同侧作APC 和BPD，使PCPA，PDPB，APC BPD，连接 CD，点 E、F、G、H 分别是AC、AB、BD、CD 的中点，
25、顺次连接 E、F、G 、H(1)猜想四边形 EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点 P 在线段 AB 的上方时，如图 2，在APB 的外部作APC 和BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，APCBPD90，其他条件不变，先补全图 3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由答案：（1）四边形 EFGH是菱形 2 分(2）成立 3 分理由：连接 ADBC， 4 分P， PD即 又 ， ， （SAS ）ADCB 6 分EFGH， ， ，分别是 ABC， ， ， 的中点，E， ， ，分别是 ， AD ， B ， ACD 的中位线12， 12D， 1
26、2G， 12EH四边形 是菱形 7 分(3）补全图形，如答图 8 分判断四边形 EFH是正方形 9 分理由：连接 ABC， A A AB BBPPPDC CDF FE EG GH H图 1 图 2 图 3C HDGBPFEA第 25 题（2）答图321C HDGEAPF B第 25 题（3）答图（2）中已证 APDCB 90C，1又 2B3 11 分（2）中已证 GHE， 分别是 BCDA ， 的中位线，C， A 90E又 （2）中已证四边形 F是菱形，菱形 F是正方形21 （2009 山西省太原市）如图， 是 MON边 上一点， AEON (1）在图中作 N的角平分线 B，交 于点 ；（要求
27、：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）(2）在（1）中，过点 A画 的垂线，垂足为点 D，交 于点 C，连接 B，将图形补充完整，并证明四边形 C是菱形【关键词】菱形的判定【答案】解：（1）如图，射线 OB为所求作的图形(2）方法一： OB平分 MNAOBC， AENC ， ， D， 在 B 和 C 中ADBCO， ，AO ， ，四边形 是平行四边形，四边形 A是菱形方法二：同方法一， B， ABAOENMAOBCDENMADOB于点 ， 90DBAOCD， 在 和 C 中AC， ， ， 四边形 OB是平行四边形A（或 ），四边形 OABC是菱形22 (2009 山西省太原市）问题解决如图
28、（1），将正方形纸片 D折叠，使点 落在 D边上一点 E（不与点 C，D重合），压平后 得到折痕 MN当 12CED时，求 AMBN的值类比归纳在图（1）中，若 13CED， 则 AMBN的值等于 ；若 14CED， 则 AMBN的值等于 ；若 n（ 为整数），则 的值等于 （用含 n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片 A折叠，使点 落在 边上一点 E（不与点C，重合），压平后得到折痕 ， 设 11CmBDn， ， 则 ABN的值等于 （用含 mn， 的式子表示）图（1）AB CDEFMN方法指导：为了求得 的值，可先求 、 的长，不妨设：ABNBN=2图（2）NAB CDEFM问题解
29、决解：方法一：如图（1-1），连接 BME， ， 由题设，得四边形 ABNM和四边形 FE关于直线 MN对称 垂直平分 E B， 四边形 CD是正方形，902A, 112， 设 x， 则 ， 2Cx在 RtNE 中， 22CE 22x 解得 54x，即 BN在 tABM 和在 tD 中，22，DE，2E设 y， 则 y， 21y解得 14， 即 A 分 5MBN方法二：同方法一， 54如图（12），过点 做 NGCD ， 交 A于点 G，连接 BEN图（1-1）AB CDEFMN图（1-2）AB CDEFM G ADBC ， 四边形 GDN是平行四边形 N同理，四边形 A也是平行四边形 54A
30、GBN 90MEBM， ECM， ， 在 C 与 G 中90NB， NG ， 14AMA5， = 15BN类比归纳 2（或 410）； 97； 21n联系拓广 2nm23 (2009 襄樊市）如图所示，在 RtABC 中， 90 将 RtABC 绕点 顺时针方向旋转 60得到 DE ， 点 在 上，再将 t 沿着 所在直线翻转18得到 ABF 连接 (1）求证：四边形 是菱形；(2）连接 并延长交 于 G， 连接 ， 请问：四边形 G是什么特殊平行四边形？为什么？【关键词】菱形的判定、矩形的判定【答案】A DF CEGB(1）证明： RtDEC 是由 tAB 绕 C点旋转 60得到， 60A，
31、 是等边三角形，又 tBF 是由 t 沿 所在直线翻转 18得到 9， C 是平角点 F、 B、 C 三点共线 A 是等边三角形 3 分 DF 四边形 是菱形(2）四边形 G是矩形证明：由（1）可知： ACD 是等边三角形， EAC于 AE B EB ， G四边形 C是平行四边形，而 90AC四边形 A是矩形24 (2009 年安顺)如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF。(1） 求证：BD=CD；(2） 如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。【关键词】矩形
32、判定【答案】（1） AFBC ， AFEDC E是 D的中点， (3)AFC， B C (2）四边形 是矩形 A DF CEGBABC， D是 的中点 ADBC ， 90AF， B 四边形 F是平行四边形又 90 四边形 是矩形25（2009 重庆綦江）如图，在矩形 ABCD 中， E是 边上的点，AE=BC，DFAE ，垂足为 F，连接 DE(1）求证： AE ；(2）如果 1DB， =6，求 sinDF的值26（2009 年北京市）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三
33、角形纸片绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：(1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图 3 所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图 3 中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；(2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G 、H 分别是边AB、 BC、CD、DA 的中点，分别连结 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ请在图 4 中 探究平行四边形 MNPQ 面积的大小（画 图并直接写出结果）. 【关键词
34、】正方形 操作探究【答案】27 (2009 年北京市）在 ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E逆时针旋转 90得到线段 EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P 1 不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EC1.判断直线 FC1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EC2.判断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.(2）若 AD=6,tanB
35、= 43,AE=1,在的条件下，设 CP1= x，S 1PFCA= y，求 与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.【关键词】旋转、三角形全等、正方形、二次函数解：（1）直线 1FG与直线 CD的位置关系为互相垂直证明：如图 1，设直线 与直线 的交点为 H线段 ECP、 分别绕点 E逆时针旋转 90依次得到线段 1EFG、 ， 1 190GFGPFC， ， 1， 190， 1EPC 1GF 1 ECD ， 190P， GFFDCBA E图 1G2G1P1HP2 90EFH C 1GD 按题目要求所画图形见图 1，直线 12G与直线 CD的位置关系为互相垂直(2）四边形 AB是平行
36、四边形， C 46tan3DE， ， ， 5t， 可得 4由（1）可得四边形 FCH为正方形 CHE如图 2，当 1P点在线段 的延长线上时， 14FGx， ， 11()22PxS ()yx如图 3，当 1点在线段 CH上（不与 、 两点重合）时， 14FGPx， ， 11()22xS (0yx当 1P点与 H点重合时，即 4x时， 1PFG 不存在综上所述， y与 x之间的函数关系式及自变量 x的取值范围是 21(4)yx或2(0)y28（2009 年长春）如图，在矩形 ABCD中，点 EF、 分别在边 ADC、 上，ABEDF ， 692， ， ，求 的长AB CDEFDG1P1HCBA
37、EF图 2FG1P1CABE DH图 3【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】解：四边形 ABCD是矩形，AB=6A=D=90，DC=AB=6又AE=9在 RtABE 中，由勾股定理得： BE= 176922ABE EF ， BDA，即 1726EF= 31726（2009 年长春）如图，抛物线 23yax与 x轴正半轴交于点 (30)A， ，以OA为边在 x轴上方作正方形 OABC，延长 交抛物线于点 D，再以 B为边向上作正方形 BDEF(1）求 a的值（2 分）（2）求点 F的坐标（5 分）【关键词】正方形的性质、待定系数法、二次函数 2yaxbc
38、（a0）与a，b，c 的关系【答案】解：（1）抛物线 23yax与 x轴正半轴交于点 (30)A，把 (30)A， 的坐标代入 得：9a-3- 2=0a= 2(2)设正方形 BDEF 的边长为 x，则 D（3+x，3）点 D 在抛物线上 23312）（）（ x 解这个方程得：x 1= 20， 210x（不合题意，舍去）F(3， 0)yxOC BAEFD29（2009 年安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加 dcm，如图所示已知每个菱形图案的边长 103cm，其一个内角为 60(1）若 d26，则该纹饰要 231 个菱形图案，求纹饰的长度
39、L；(2）当 d20 时，若保持（1 ）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【关键词】菱形的性质、【答案】 （1）菱形图案水平方向对角线长为 230cos130cm按题意， 60)123(60Lcm(2）当 d20cm 时，设需 x 个菱形图案，则有：)1(230x解得即需 300 个这样的菱形图案28.（2009 年安徽）如图，将正方形沿图中虚线（其中 xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求 xy的值【关键词】正方形、矩形的性质，解一元二次方程、分式的基本性质、【答案】解：（1）如图所示说明：其它正确拼法可相应赋分(2）解法一
40、：由拼图前后的面积相等得： 2)()(yxyx因为 y0，整理得： 01)(2yx xyxy yxx y60 d L第 19 题图解得： 215yx（负值不合题意，舍去）解法二：由拼成的矩形可知： yxx)(以下同解法一30（2009 年郴州市）如图 9，E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点，求证：AE=CE 【关键词】是正方形【答案】证明：因为四边形 ABCD是正方形所以 = 又 BE 是公共边 所以 E 所以 31(2009 年陕西省)问题探究(1）请在图的正方形 ABCD 内，画出使APB90的一个点 P，并说明理由(2）请在图的正方形 ABCD 内（含边），画出使APB60的
41、所有的点 P，并说明理由问题解决如图，现有一块矩形钢板 ABCD，AB4，BC3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB 和CP D 钢板，且APBCP D60，请你在图中画出符合要求的点 P 和 P，并求出APB 的面积（结果保留根号）D CEBA【关键词】正方形对角线 等边三角形 圆周角性质 三角形面积【答案】解：（1）如图，连接 AC、BD 交于点 P，则APB90，点 P 为所求，(2）如图，画法如下：1）以 AB 为边在正方形内作等边ABP；2）作ABP 的外接圆O，分别与 AD、BC 交于点 E、F 在O 中，弦 AB 所对的弧 APB 上的圆周角均为 60，弧 EF 上的
42、所有点均为所求的点 P，(3）如图，画法如下：1）连接 AC；2）以 AB 为边作等边ABE；3）作等边ABE 的外接圆O，交 AC 于点 P；4）在 AC 上截取 APCP则点 P、P 为所求(评卷时，作图准确，无画法的不扣分）过点 B 作 BG AC，交 AC 于点 G在 RtABC 中，AB 4，BC3，AC 52CABG 1在 RtABG 中，AB4，AG 562BGA在 RtBPG 中，BPA 60，PG 34160tan，APAG +PG 5S APB 2534961341621BGAP32（2009 重庆綦江）如图，在矩形 ABCD 中， E是 BC边上的点，AE=BC，DFAE ，垂足为 F，连接 DE(1）求证： ABE DF ；(2）如果 10， =6，求 sin的值【关键词】全等三角形，矩形，三角函数DAB CEF【答案】(1）证明：在矩形 ABCD中， 90BC， ， FED，90=AA (2）解：由（1）知 BDFA 6BF在直角 D 中，221068AEAF在直角 中，22F10sinDE33（
